Juegos retribuidos monetariamente

La clave está en observar que, en cualquier juego, la simultaneidad no se refiere necesariamente a sucesos que ocu- rren coetáneamente en tiempo real. Para formalizar este hecho, hacemos uso del concepto de conjunto de información introducido más arriba.

Conectando mediante una línea discontinua aquellos nodos que pertenecen a un mismo conjunto de información, el juego descrito tiene cualquiera de las dos representaciones reflejadas en las figuras 1.

Pares y nones en forma extensiva, versión 1. Pares y nones en forma extensiva, versión 2. En este contexto, surge de forma natural el concepto básico de estrategia. Para cada jugador, una estrategia en r es un conjunto de reglas contingentes que prescriben qué ha de hacer en cada uno de sus conjuntos de información.

Una estrategia, por tanto, ha de anticipar todas las posibles situaciones en que el individuo puede verse llamado a jugar y, para cada una de ellas, elegir una de las acciones disponibles.

Obviamente, como no es posible exigir que un individuo tome una decisión que dependa de información que no tiene, una estrategia ha de prescribir la misma acción en cada uno de los nodos de un determinado conjunto de información. Tal como aparece especificado en [1. En virtud de lo explicado, está claro que una estrategia para i puede formalizarse simplemente mediante una función [1.

Sobre la base del concepto de estrategia definido por [1. Ésta es la deno- minada representación en forma estratégica o normal donde los conjuntos Si son los espacios de estrategias de los jugadores y las funciones de pagos asocian a cada perfil de estrategias s0 , s 1 , s 2 , que una repre- sentación extensiva del juego presenta de forma explícita.

Después de barajar, el jugador 1 elige una carta, la ve, y en función de ello decide "apostar" o "pasar". Si apuesta, el jugador 2 coge una carta de las dos restantes y, en función de cuál es, decide igualmente "apostar" o "pasar".

Si ambos jugadores apuestan, el jugador que tiene la carta más alta recibe del otro cien pesetas. Si alguno no apuesta, no se realiza ningún pago.

La representación extensiva del juego se ilustra en la figura 1. O, O , O, O , O, O o , O, O , O, O , O, O , Figura 1.

Juego de la carta más alta, forma extensiva. Las estrategias de los dos jugadores se pueden representar por ternas cuyas coordenadas se asocian a cada uno de los posibles conjuntos de información.

Una vez identificados los espacios de estrategias, la forma estratégica del juego sim- plemente requiere una asociación apropiada entre los perfiles de estrategias y los correspondientes vectores de pago.

Fijando la elección de la naturaleza a un deter- minado par de cartas c1 , c2 para cada jugador, esta asociación entre estrategias y pagos puede describirse a través de una tabla similar a las utilizadas en secciones an- teriores.

véanse las variaciones de este ejemplo en el ejercicio 1. ppp 1 A AA , - 0, 0 , - Debido a que tal corno veremos en el próximo capítulo en muchos juegos de interés no existen configuraciones de equilibrio en estrategias puras, una generalización de este concepto que querremos utilizar con frecuencia es el de es- trategias mixtas.

Éstas permiten la selección de una de las estrategias puras de forma aleatoria; esto es, en función de una "lotería". x :En en términos de pagos esperados. Heurísticamente, una estrategia mixta refleja una aleatorización, cuya incer- tidumbre asociada se despeja totalmente al principio del juego, fijando un plan con- creto esto es, estrategia pura que se adoptará sin cambio durante todo su desarrollo.

En contraste con este enfoque, podríamos concebir una situación en la que los agentes realizan o planifican realizar una aleatorización independiente en cada uno de los con- juntos de información en los que pueden llegar a encontrarse a lo largo del juego.

Esta es la idea que subyace en el concepto de estrategia de comportamiento. A i , que a cada h E H i asocia un vector de probabilidades en ti. Ai con la interpretación de que, para cada a E A h , ,i h a es la probabilidad con que el jugador i elige la acción a cuando se encuentra en un nodo x E h.

A h ; esto es, el soporte de ,i h está contenido en A h. Dadas estas dos formas alternativas de modelar la aleatorización en un juego estrategias mixtas en I:i o de comportamiento en [Ji , surge de forma natural la pregunta de cuál es la relación entre ambos enfoques.

Para apreciar algunos de los problemas que pueden surgir a este respecto, considérese un juego con la estructura ilustrada en la figura 1. En este juego, el agente 1 tiene cuatro estrate- gias: A , C , A , D , B , C , B , D. De hecho, esta probabilidad es nula, ya que el conjunto de información considerado sólo se alcanza dado a-1 si el jugador 1 adopta la estrategia A , C.

Por ejemplo, en el juego ilustrado en la figura 1. Si esto no es así, y es la propia estrategia ªi del jugador i la que descarta que h se pueda visitar, la probabilidad condicional mencionada no está bien definida.

En estos casos, discrecionalmente, 1 identificamos la probabilidad de jugar cada acción a en h con la probabilidad total que de forma esencialmente irrelevante O"i asocia a ello.

Nótese que, por construcción, la formulación descrita en [1. Desde este punto de vista, ambas reflejan el mismo comportamiento contingente, al menos si cada conjunto de información se considera por separado. Se desarrolla más adelante una discusión detallada de las posibles diferencias y sus implicaciones.

En general, la relación entre estrategias mixtas y de comportamiento, aunque exhaustiva, no es inyectiva. Es decir, puede haber más de una estrategia mixta que dé origen a la misma estrategia de comportamiento.

Considérese para ilustrar este hecho un juego con la estructura reflejada en la figura 1. El jugador 2 tiene en este juego cuatro estrategias puras: A , C , A , D , B , C , B , D.

Dada la posible multiplicidad de estrategias mixtas que se pueden asociar a una determinada estrategia de comportamiento, surge la sigui.

e nte pregunta de forma natural: ¿cuál es, en general, la forma más apropiada de modelar el comportamiento de los jugadores? Como veremos, la conclusión es la siguiente: cualquiera de estas 1 Habría otras posibles forma s de completar la estrategia de comportamiento inducida, sin que ello tuviera implicaciones importantes sobre el análisis.

Antes de entrar en detalle a explicar las características precisas de la equivalencia mencionada, abordamos la formulación rigurosa de la idea de "memoria perfecta". Diremos que un juego exhibe memoria perfecta si, a lo largo de él, los jugadores nunca olvidan ni las acciones que efectuaron ni la información que supieron con anterioridad.

Tal como pasamos a explicar a continuación, nos apoyaremos en el versátil concepto de conjunto de información. Análogamente, consideramos el requisito de que el jugador i no olvide ninguna información precedente.

Ello es equivalente a afirmar que si un jugador no posee una cierta información en algún momento del juego, tampoco la tenía en un momento anterior.

Desde esta perspectiva, para cualquier jugador no deberá existir pre- ferencia por una u otra manera de formular y poner en práctica su decisión. A modo de ilustración, considérense dos juegos con las estructuras representa- das en las figuras 1.

Sus acciones y órdenes de movimiento son los mismos, aunque en el primero haya memoria perfecta y en el segundo no. Figura 1. Consideremos cualquier estrategia mixta a 1 E 6. Es fácil ver que ambas 1 estrategias son equivalentes en el sentido arriba indicado.

Por construcción recuérdese 1. Claramente, estas consideraciones se pueden extender a cualquier estrategia jugada por el jugador 2. Por contraste, considérese ahora el segundo juego sin memoria perfecta, en el que el jugador 1 olvida qué acción efectuó ante su primer conjunto de información.

Debido a esta pérdida de memoria, el jugador 1 sólo tiene dos conjuntos de infor- mación y las siguientes cuatro estrategias puras: A , C , A , D , E , C , E , D.

En este caso, la estrategia ::Y1 no es ya equivalente a 1. Para confirmarlo, supóngase de nuevo que el jugador 2 juega X. La razón última de esta disparidad es que en el juego descrito en la figura 1. Por tanto, mediante la estrategia a1 este jugador puede correlacionar sus acciones del primer y segundo conjunto de información, algo que le es imposible realizar mediante la estrategia ::Y1 debido a su "pérdida de memoria".

Kuhn demostró que, tal como hemos ilustrado, la posible equivalencia o no entre estrategias mixtas y de comportamiento depende exclusivamente de que el juego en cuestión sea o no de memoria perfecta.

Éste es el contenido del siguiente teorema, cuya demostración se omite. Teorema 1. Ésta es la dimensión esencial de los juegos no cooperativos que serán nuestro objeto fundamental de estudio en este libro. Junto a este enfoque, la teoría de juegos ha explorado otra vía paralela y en gran medida independiente cuyo objeto es bastante diferente: la conocida como teoría de juegos cooperativos.

Esta última, en vez de las interacciones estratégicas de los indivi- duos se propone analizar los conjuntos de posibilidades disponibles para las diferentes "coaliciones" de las que los individuos pueden llegar a formar parte. El supuesto implícito en este enfoque es que los jugadores siempre alcanzarán finalmente un acuerdo que debería ser eficiente , y que este acuerdo puede ser garan- tizado mediante la "firma" de un contrato vinculante.

La cuestión, por tanto, es qué tipo de contrato se firmará y cómo éste ha de depender de las posibilidades coali- cionales de cada jugador. Asociada a cada posible regla para firmar un contrato tenemos una solución diferente del juego cooperativo.

Algunas de las más importantes son las conocidas como el Núcleo, el Valor de Shapley, el Nucleolo, la Solución de Negociación de Nash, la Solución de Kalai y Smorodinsky, etc. El lector interesado habrá de dirigirse a textos más exhaustivos v.

Myerson para una discusión detallada y rigurosa. La representación coalicional de este juego se basa en lo que se conoce como su función característica. Ésta es una función que asocia a cada posible coalición de indi- viduos el conjunto de partes de N la especificación de su conjunto de posibilidades -en nuestro caso, las diferentes asignaciones de dinero que son factibles entre sus miembros.

En este caso la función de hecho, corres- pondencia característica V: P N. Ante esta situación, totalmente simétrica, todas las soluciones propuestas en la teoría prescriben un resultado simétrico. Por ejemplo, el Valor de Shapley asigna a cada individuo su contribución marginal promedio en el proceso secuencial de for- mación de la gran coalición N, donde todos los posibles órdenes en que este proceso puede llevarse a cabo tienen el mismo peso.

En el primer caso , el valor marginal de 1 es cero, mien- tras que en el segundo es de Por tanto, su contribución marginal media y 6 su valor de Shapley es 1~. El argumento es recíproco para el jugador 2, que obtiene por tanto un valor de Shapley idéntico. El enfoque del Núcleo es muy diferente.

Informalmente, se centra en aque- llos acuerdos que son estables frente a la posibilidad de "bloqueo" por parte de alguna coalición. Más específicamente, un acuerdo se juzga estable cuando no exis- te ninguna coalición que pueda garantizar un resultado que todos los miembros 4 Por simplicidad, se supone implícitamente que los pagos de los agentes coinciden con sus re- tribuciones monetarias.

Si esto no fuera así, los conjuntos de posibilidades habrían de ser formulados en el espacio de pagos o utilidades. Si, en el ejemplo considerado, N se compone de sólo dos agentes, está claro que el núcleo lo forma todo el conjunto { x 1 , x2 E IR! Por tanto, se mantiene la simetría en el resultado, aunque ahora éste no sea una asignación definida sino un conjunto de ellas de he- cho, el conjunto completo de posibilidades.

En este caso, el valor de Shapley refleja de nuevo la simetría de la situación, pres- 6 cribiendo que el millón se reparta a partes iguales entre los tres jugadores, es decir, 1~ para cada uno de ellos. Así, considérense las seis posibles secuencias en que se puede formar la gran coalición.

En cuatro de ellas, cada individuo tiene una contribución marginal nula en concreto, cuando ocupa el primer o último lugar. Por el contrario, en las dos en que ocupa exactamente el segundo lugar, su contribución marginal es Promediando los seis valores, obtenemos la conclusión indicada.

En contraste con lo anterior, resulta bastante más intrigante el hecho de que el núcleo del juego con tres jugadores sea vacío. Ello responde a las siguientes consi- deraciones.

Supóngase que los tres individuos se sientan alrededor de una mesa para redactar un acuerdo. Si dos individuos pretenden llegar a un acuerdo bilateral sobre la repartición del millón que soslaye al tercero, éste reaccionará inmediatamente ofreciendo a uno de ellos digamos, al jugador 1 un contrato alternativo que mejore lo que recibiría en el "amenazante" contrato.

Esto siempre será beneficioso para él ya que, si el contrato se firmara, no recibiría nada. Estas consideraciones eliminan la posibilidad de contrat~s exclusivamente bilaterales. Ello anula la estabilidad de cualquier contrato trilateral que otorgue una cantidad positiva a los tres individuos.

Concluimos, por tanto, que ningún contrato es estable: para cualquier coalición que pensara formarse, siempre se podría formar otra beneficiando a sus miembros en relación con la primera. a Hay que pagar una cantidad inicial que engrosa la apuesta si ambos apuestan o paga el que pasa si sólo él lo hace.

b Como en a , con la posibilidad añadida de que el jugador 1 apueste después de haber pasado si el 2 apuesta después. Ejercicio 1. Para que la expedición tenga éxito el general A ha de recibir refuerzos. Los generales han llegado al acuerdo de que si A recibe los refuerzos, mandará un emisario a B.

Los pagos de una victoria se han evaluado en 50 para cada general, cero los de espera conjunta, y - 10 para el que espera y - 50 para el que ataca si sólo uno de ellos lo hace. Finalmente, si los dos generales atacan pero salen derrotados porque A no ha recibido los refuerzos cada uno de ellos obtiene un pago de - Represéntese el juego en forma extensiva.

Calcúlese formalmente la estrategia de comportamiento asociada a u 1. Calcúlese la estrategia de comportamiento asociada a u;. Compárese con el juego descrito en la tabla 1. Supóngase que "ganar" implica recibir del otro jugador Ptas. mientras que, en caso de igualdad en las acciones de los individuos, no se produce ningún pago.

Represéntese el juego en forma extensiva y estratégica. Considérese ahora la siguiente variación del juego anterior: el orden de movi- mientos es estrictamente secuencial primero uno, después el otro , siendo cada una de las posibilidades elegida aleatoriamente con igual probabilidad digamos que lanzando una moneda al aire al principio del juego.

Represéntese el juego en forma extensiva y estratégica, indicando también cuáles estima que serán las estrategias utilizadas por parte de cada jugador. Si a un individuo se le da la opción de jugar a la primera versión del juego, a la segunda, o a ninguna, ¿cuál preferirá?

Alternativamente, propóngase y razónese una predicción para el juego con memoria imperfecta, obtenido del arriba descrito, cuando todos los nodos finales del jugador 1 pertenecen a un mismo conjunto de información.

Un comerciante de guantes ofrece pagar mil pesetas por cada pareja complementaria de guantes que se le entregue. Modelando la situación como un juego en forma coalicional, especifíquese su función característica y determínese su núcleo recuérdese que éste último coincide con el conjunto de todos los acuerdos "estables" entre los individuos.

CONCEPTOS BÁSICOS DE SOLUCIÓN 2. Se recordará que en este juego la estrategia D resulta la mejor para cada jugador, independientemente de lo que haga el otro.

La estrategia D, en otras palabras, es dominante para cada jugador. Ello nos llevaba a predecir esta decisión por parte de cada uno de ellos. Mucho más interesante es el caso en que.

este criterio de dominancia es utilizado de forma iterativa. Considérese el siguiente juego bilateral en forma estratégica: 2 A E e X 2, 2 1, O 0,3 1 y 4,4 7,2 6, 1 z 3,5 2,6 8,3 Tabla 2.

Por ello, decimos que la estrategia Y domina a veces añadiremos "fuertemente" la estrategia X. Si el juga- dor 1 es racional, no utilizará nunca la estrategia X. Una vez descartada esta posibilidad, el juego queda reducido a 2 A B e y 4,4 7,2 6, 1 1 z 3,5 2,6 8,3 En el juego resultante, es ahora el jugador 2 el que tiene una estrategia domi- nada: la estrategia C, tanto por la estrategia A como por la B.

Por tanto, si el jugador 1 supone que 2 es racional, descartará que éste adopte C. Nótese que al considerar el jugador 1 que 2 razona sobre el juego reducido en vez del original está acep- tando implícitamente que el jugador 2 supone que 1 él mismo es racional.

Una vez descartada C, el juego queda como sigue: 2 A B y 4,4 7,2 1 z 3,5 2, 6 En esta tabla, el jugador 1 tiene una estrategia dominada: Z, que lo es por la estrategia Y. Por tanto, si 2 cree que 1 razo~a a partir de esta tabla puede descartar que 1 adopte Z. Nótese que al suponer 2 que 1 razona a partir de esta tabla, cree implícitamente que 1 cree que 2 cree que 1 es racional.

Una vez realizado el descarte de Z, 2 se enfrenta a la siguiente tabla: 2 A B 1 y 4, 4 7, 2 lo cual lleva a 2 a elegir A, que le reporta un mayor pago. La continuación indefinida de la cadena de afirmaciones sugerida por i - iv define una situación de conocimiento común de racionalidad en inglés, "common knowledge of rationality".

Es una de- manda esto es, condición necesaria implícita en casi todos los conceptos de solución propuestos por la teoría clásica de juegos. Como explicaremos más adelante, casi to- dos ellos requieren bastante más que un mero conocimiento común de racionalidad, v.

algún grado de expectativas racionales es decir, correctas sobre el juego de los oponentes. Sin embargo, si no admitimos ninguna de tales consideraciones adi- cionales y "racionalidad" se identifica con la muy débil exigencia de "no adoptar estrategias dominadas", el análisis nuestro y de los propios jugadores ha de basarse exclusivamente en un proceso de descarte iterativo como el arriba descrito.

Definición 2. Es decir, tal criterio alternativo de dominancia da lugar a un conjunto de estrategias dominadas que nunca es mayor que el inducido por el concepto propuesto en la definición 2. Para ilustrar este hecho, considérese la tabla 2. Allí, un agente se considera racional si la estrategia elegida maximiza sus pagos esperados, dadas algunas percep ciones sobre el comportamiento de los demás jugadores.

Es decir, es falso que, en general, cualquier estrategia mixta dominada la extensión natural de la definición 2. Véase también la parte b del ejercicio 2. Ahora formalizamos el proceso iterativo de eliminación de estrategias domi- nadas ilustrado para el juego presentado más arriba tabla 2.

El conjunto de estrategias que sobreviven el proceso indefinido de eliminación de estrategias dominadas para el jugador i viene dado por: S 1. Veáse la parte a del ejercicio 2. Por construcción, siempre tenemos que S f' i 0, ya que una estrategia sólo se descarta si existe otra estrategia alternativa que la domina.

Si el proceso iterativo definido da lugar a un solo perfil de estrategias como en el ejemplo considerado más arriba decimos que el juego en cuestión es resoluble por dominancia. Conceptos básicos de solución c. Recuérdese, por ejemplo, los juegos de la "batalla de los sexos" o "pares y nones", descritos en las secciones 1.

Por ello, introducimos ahora un concepto teórico alternativo: el equilibrio de Nash, cuya existencia está garantizada para un conjunto muy amplio de juegos. A diferencia de otras nociones de equilibro más "refinadas" véase el capítulo 4 , ésta se define para la forma estratégica del juego, r, G r ; esto es, sólo requiere la información contenida en esta representación.

Verbalmente, un equilibrio de Nash es un perfil estratégico tal que ningún ju- gador cuenta con una desviación unilateral beneficiosa es decir, dadas las estrategias adoptadas por los demás en el equilibrio, ninguna estrategia alternativa le reporta a ese jugador un pago mayor.

Conceptualmente, la condición de equilibrio de Nash se ha de concebir como un requisito de consistencia: toda predicción concreta que hiciéramos para un juego determinado que no fuera equilibrio de Nash no tendría ninguna posibilidad de materializarse si los jugadores se la creyeran y además fueran racionales en el sentido de maximizar sus pagos individuales.

Pues, en ese caso, tal predicción no se confirmaría, ya que al menos un jugador tendría un incentivo para desviarse de ella. Es fácil comprobar que si un juego es resoluble por dominancia, el único per- fil estratégico resultante es un equilibrio de Nash veáse el ejercicio 2.

En este sentido, el criterio de Nash conlleva un enfoque del análisis del juego más potente que el basado en la mera resolución por dominancia. Induce, en otras palabras, una condición necesaria de estabilidad estratégica recuérdese la discusión anterior que resulta más fuerte es decir, concluyente que la reflejada por el criterio de dominan- cia.

Ello no implica, sin embargo, que represente también una condición suficiente como base exclusiva para el análisis de todos los juegos. Recuérdese, por ejemplo, la "batalla de los sexos" descrita en el capítulo 1 figura 1.

En este juego, existen dos equilibrios de Nash: F, F y C, C. Ninguno de ellos, en función exclusiva del criterio de consistencia de Nash, puede ser preferido respecto al otro.

Cualquiera de ellos es igualmente sólido desde un punto de vista estratégico unilateral. Para seleccionar uno de ellos deberíamos introducir en el análisis consideraciones adi- cionales a las que aparecen en la tabla de pagos.

Pueden referirse, por ejemplo, al contexto particular o social de la interacción pasadas citas si las hubo, costumbres de la sociedad donde se desarrolla el juego, etc.

Ello nos introducirá en la literatura de los llamados "refinamientos" del equilibrio de Nash, que, tal como hemos avanzado, son el objeto del futuro capítulo 4. A veces, estos refinamientos nos permitirán discriminar entre equilibrios de Nash alternativos. Piénsese, por ejemplo, en el juego de "pares y nones" descrito en el capítulo anterior.

Por ello, consideraremos la extensión mixta del juego, reformulando la definición 2. Para esta extensión, tenemos el siguiente primer resultado de existencia en juegos finitos. Teorema 2. Para probar la existencia de tal punto fijo utilizaremos el siguiente bien conocido teorema del punto fijo véase, por ejemplo, Border Ya que véase la sección 1.

La convexidad de las imágenes de cada Pi se sigue obviamente de la linealidad de cada 1ri en cri. Finalmente, la hemicontinuidad superior de cada Pi es una consecuencia de la siguiente versión del Teorema del Máximo véase Border, : Teorema del Máximo Sean X e R.

n compacto, cp : X tY una correspondencia continua y f : X x Y lR una función continua. La correspondencia e; es hemicontinua superiormente y la función v continua. Particularizando cp. una función continua. El juego G tiene un equilibrio de Nash.

Ninguno de los dos resultados anteriores garantiza que los equilibrios de Nash que se establecen hayan de utilizar necesariamente estrategias puras es decir, obviar estrategias mixtas no degeneradas.

Algunos autores ponen fuertes reparos al con- cepto general de estrategias mixtas debido a su falta de "realismo". Casi nunca se contempla en la vida real, arguyen estos autores, situaciones estratégicas de interés en que los jugadores recurran a mecanismos estocásticos de decisión.

A este respecto, tenemos el siguiente resultado. El juego G tiene un equilibrio de Nash en estrategias puras. Ejercicio 2. Éstos son los llamados de suma constante. In- cluyen entre ellos muchos de los juegos bilaterales que usualmente se conciben como tales en el uso cotidiano del término juegos de cartas, ajedrez, competiciones de- portivas.

Un ejemplo sencillo es el juego de "pares y nones" descrito en la lección anterior. La característica fundamental de estos juegos es que la suma de los pagos de los jugadores se mantiene constante para cualquier perfil de estrategias de ambos.

En particular, es especialmente natural centrarse sin ninguna pérdida de generalidad -véase el ejercicio 2. Formal- mente, la definición de tales juegos de suma cero es como sigue: Definición 2. Correspondientemente, para un perfil de estrategias mixtas , E ~ri - J x ~ r 2 - 1 , tenemos: 4 Nótese que la condición de suma cero aplicada a perfiles de estrategias puras se mantiene al considerar estra tegias mixtas véase la definición 2.

Dado los intereses contrapuestos de ambos jugadores, mientras que el jugador 1 tratará de maximizar la expresión a-1A a-2, el 2 tratará de minimizarla. Adquieren especial relevancia dos valores específicos para estos pagos adquieren especial relevancia.

Se conocen como los valores maximin y minimax. Heurísticamente, el maximin es el valor máximo que el jugador 1 podría obtener en el juego en caso de que el 2 pudiera reaccionar óptimamente a toda estrategia suya minimizando su pago el del jugador 1. Intuitivamente, este valor corresponde al pago que 1 esperaría si fuese extremadamente pesimista sobre la capacidad de anticipación de su oponente.

a2EI:2 a¡ EI:1 El resultado fundamental para juegos de suma cero es el siguiente teorema. Probemos primero que v2 ~ v 1.

Sea O"; ,O"; un equilibrio de Nash de G un equilibrio siempre existe por el teorema 2. Por definición de equilibrio de Nash: [2. a2EE2 Ya que, por [2. La parte ii es consecuencia inmediata de esta igualdad. Si bien pudieran existir varios equilibrios de Nash, en todos ellos ambos agentes obtienen ese pago.

De hecho, se puede probar que las estrategias de equilibrio se pueden elegir independientemente para cada agente. Es decir, a diferencia de lo que ocurre en juegos generales, un equilibrio en este caso no requiere ningun grado de coordinación en las expectativas de los agentes. El argumento por el que concluíamos en la demostración del teorema 2.

No así, sin embargo, la desigualdad recíproca, que es la que implica la igualdad probada entre los dos valores; ésta última sólo es válida en general para juegos de suma cero.

Para terminar esta sección, hacemos notar que los resultados obtenidos para juegos bilaterales de suma cero no se generalizan para un número mayor de agentes véase el ejercicio 2.

Hay implícito detrás de este concepto el supuesto de que los jugadores no pueden coordinarse en la adopción simultánea de una desviación conjunta. En algunos contextos, este supuesto no es adecuado y necesita- mos considerar un concepto de equilibrio que sea resistente a la posibilidad de que se produzcan desviaciones multilaterales.

Una primera aproximación a esta idea la proporciona el concepto de equilibrio fuerte, debido a Aumann Análogamente al concepto de equilibrio de Nash, un equilibrio fuerte es un perfil estratégico para el cual no existe ninguna desviación conjunta de algún subconjunto de jugadores que sea mejor estrictamente para todos ellos.

En particular, este subconjunto puede coincidir con el conjunto de todos los jugadores. Esto implica, por tanto, que todo equilibrio fuerte ha de ser débilmente eficiente en el sentido de Pareto; esto es, no ha de existir ningún otro perfil estratégico que prefieran todos los jugadores.

De hecho, es tan exigente que en muchas situaciones de interés su existencia no está garantizada: por ejemplo, en aquellos juegos en que todo perfil estratégico que es eficiente en el sentido de Pareto no es equilibrio de Nash recuérdese, por ejemplo, el dilema del prisionero presentado en la sección 1.

Hay tres jugadores, cuya interacción aparece representada en las siguientes tablas: 2 2 A B A B X 0,0, 10 - 5, -5, O X - 2, -2,0 - 5, - 5, O 1 1 y -5, -5, O l, l, 4 y - 5, -5,0 - 1, -1,5 3 M N Tabla 2. Este juego tiene dos equilibrios de Nash. Uno, X , A , M , domina en el sentido de Pareto al otro, Y, B , N.

Este último, por tanto, no puede ser un equilibrio fuerte en el sentido de Aumann. Consideremos, sin embargo, la desviación de los tres jugadores de Y, B , N a X , A , M.

Si los jugadores 1 y 2 toman como dada la desviación del jugador 3 hacia M, la misma motivación que subyace en la noción de equilibrio fuerte llevaría a exigir que no existiera una desviación conjunta de estos dos últimos jugadores con la que ellos mejoraran.

Y en este caso, no ocurre así: dado que 3 selecciona la primera de las tablas de pagos, los jugadores 1 y 2 prefieren jugar Y, B , lo cual es un equilibrio eficiente en el sentido de Pareto del juego bilateral inducido.

Si 3 anticipa esto, no querrá adoptar la desviación conjunta que llevaría a los jugadores a abandonar el equilibrio ineficiente Y, B , N. Ante estas consideraciones, Bernheim, Peleg, y Whinston proponen su concepto de equilibrio inmune a coaliciones "coalition-proof equilibrium". Lo des- cribiremos sólo informalmente.

Un perfil estratégico define un equilibrio inmune a coaliciones si satisface el siguiente proceso inductivo. Primero, ha de ser equilibrio de Nash; es decir, ha de ser inmune a desviaciones unilaterales beneficiosas.

Segundo, ha de ser también resistente a desviaciones bilaterales beneficiosas, con el requisito adicional de que cualquier posible desviación bilateral de este tipo ha de inducir un equilibrio de Nash en el juego que resulta entre los dos jugadores en cuestión cuando los restantes mantienen sus estrategias fijas.

Prosiguiendo de forma inductiva, estas consideraciones han de iterarse para coaliciones de cualquier tamaño, siempre te- niendo en cuenta la siguiente condición fundamental: cualquier desviación conjunta ha de definir un equilibrio inmune a coaliciones para el juego inducido cuando los restantes jugadores mantienen sus estrategias fijas.

Por ejemplo, considerando de nuevo el dilema del prisionero, concluimos que su equilibrio de Nash D , D ahora sí define un equilibrio inmune a coaliciones: la desviación conjunta a N, N se descarta, ya que no es robusta frente a desviaciones de alguna de las "subcoaliciones" consistentes en un solo jugador.

A pesar de su mucha menor exigencia, se pueden construir ejemplos que ilustran el hecho de que, a fin de cuentas, también el equilibrio inmune a coaliciones está sujeto al mismo problema fundamental que afectaba al equilibrio fuerte: deja de existir en muchos contextos relevantes. Aquí sólo hemos ilustrado someramente la naturaleza de los problemas que surgen en este campo y dos de las vías propuestas por la literatura para abordarlos parcialmente.

Uno de estos equilibrios, X , A , es el que prefiere el jugador 1; el otro, Y , E , es el que prefiere el jugador 2. Sin embargo, este equi- librio lleva aparejada una ineficiencia el perfil estratégico Y, A induce un pago de 4 para cada jugador que es esencialmente una consecuencia de la "aleatorización" independiente que los jugadores realizan en ese equilibrio.

x S 00 véase [2. Esta es esencialmente la idea que refleja el concepto de equilibrio correlado pro- puesto por Aurnann Supóngase que los jugadores deciden adoptar el si- guiente mecanismo de coordinación: lanzar una moneda y, si sale cara, jugar X, A ; si sale cruz, jugar Y, B.

Ya que cada una de estas situaciones es de equilibrio, la coordinación aleatoria entre ellas también lo es. O, en otras palabras, si los jugadores acuerdan utilizar este mecanismo, ninguno de ellos tiene incentivos para desviarse de sus prescripciones.

Por otro lado, el pago ex-ante de utilizarlo es de 3 para cada jugador, lo que palía la anteriormente descrita ineficiencia inducida por la aleatori- zación independiente de los jugadores en el único equilibrio simétrico del juego.

A pesar de la mejora que el mecanismo descrito supone, éste no es, sin embargo, eficiente en el conjunto del juego, ya que el perfil Y, A lo domina. Desgraciada- mente, este perfil no es un equilibrio y, por tanto, es un objetivo demasiado ambicioso.

Todo parecería indicar que no: si un perfil estratégico no es un equilibrio, nada conseguirá que los agentes lo adopten en decisiones independientes. Esta intuitiva afirmación es esencialmente cierta si, en los mecanismos de coordinación contempla- dos, las señales utilizadas por los jugadores son idénticas para cada uno de ellos por ejemplo, si son totalmente públicas corno el lanzamiento de una moneda al aire antes descrito.

Consideremos, sin embargo, la posibilidad de que el mecanismo de coordinación que utilicen los agentes pueda enviar señales diferentes aunque posiblemente corre- ladas a cada uno de ellos.

Supongamos ahora que el mecanismo "recomienda" las siguientes respuestas a las señales recibidas por parte de cada jugador. Por otro lado, es fácil de comprobar que estas recomendaciones del mecanismo serán seguidas por los agentes. Hagámoslo, por ejemplo, para el caso en que se producen w 2 o w3 , ya que el caso asociado a w1 es análogo al que se da cuando ocurre w3.

Primeramente, considérese la situación cuando se produce w2. En ese caso el ju- gador 1 recibe la "señal" V y el 2 la "señal" U. El jugador 1 también sabe que si de hecho se ha producido w2 algo de lo que no está seguro , el jugador 2 adoptará A, mientras que si es w3 , adoptará B recuérdense las recomendaciones postuladas.

Ante esta situación, Y es una decisión óptima no la única , que coincide con lo recomendado. Ante ello, la recomendación A es óptima aunque no única, de nuevo. Consideremos ahora la situación cuando se produce w3.

Con respecto al jugador 2, al recibir la señal w3 , sus probabilidades subjetivas están concentradas en la acción Y para l. Por tanto, en este caso también, la recomendación de optar por B es óptima para 2, ya que es su mejor respuesta a la estrategia Y por parte de l.

Como una ilustración adicional del papel crucial desempeñado por las asimetrías informacionales en el presente contexto, consideramos ahora un ejemplo algo para- dójico. Este ejemplo ilustra la importante idea de que, a diferencia de lo que ocurre en contextos de decisión individual y, por tanto, no estratégica , un agente inmerso en un marco genuinamente estratégico puede mejorar sus pagos de equilibrio cuando pierde o prescinde de posibilidades que serían "valiosas" ex post.

En el presente caso las posibilidades eliminadas conciernen a la "información" de los agentes, pero en el ejercicio 2. Sean tres jugadores: 1, 2, y 3: el primero selecciona filas, el segundo columnas, y el tercero tablas de pagos, tal como aparecen descritas a continuación: 2 2 A B A B X O, l, 3 O, O, O X 2,2,2 0,0, O 1 1 y 1, 1, O 1, o, O y 1, 1, O 2,2, 2 3 M N 2 A B X O, 1, O O, O, O 1 y 1, 1, O l, 0, 3 Q Tab la 2.

Su- pongamos ahora que los jugadores establecen el siguiente mecanismo estocástico de coordinación. Se pueden dar dos posibles realizaciones estocásticas, w 1 y w 2 , con igual probabilidad. Los jugadores 1 y 2 conocen con certeza la realización, mientras que 3 no recibe ninguna información al respecto.

Enfrentado a esa opción, el jugador 3 preferirá descartarla. Pues si conociera con exactitud el estado realizado y, en ese caso, los demás jugadores sabrían que esto es así, ya que las reglas del mecanismo han de ser públicas , las anteriores recomendaciones ya no definirían un equilibrio.

Sus oponentes podrían deducir que, en ese caso, el juga- dor 3 reaccionaría de la siguiente forma: M si w 1 ; Q si w2 , esto es, violaría las recomendaciones. Ello destruye los incentivos de los jugado- res 1 y 2 para comportarse tal como se les recomienda, con lo que se colapsa totalmente el mecanismo que permite a todos los jugadores alcanzar un pago de 2.

Y en ese caso, la única situación de equilibrio consistente con el mecanismo que trata a todos los jugadores de forma simétrica es la siguiente: escoger siempre el único equilibrio de Nash, con lo que todos alcanzan un pago de l.

Por tanto, todos pierden en relación con el mecanismo asimétrico original. Una vez introducidas las ideas intuitivas que subyacen en el concepto de equi- librio correlado, pasamos ahora a presentarlo formalmente. Sea G un juego en forma estratégica.

Un mecanismo estocástico de coordinación del tipo que se ha ilustrado se formaliza mediante: i Una variable aleatoria definida sobre un conjunto finito O con probabilidades p w para cada w E O. Con ello reflejamos un requisito ya familiar recuérdese la sección 1.

O, en otras palabras, el óptimo ex ante que la estrategia de cada jugador ha de satisfacer en equilibrio exige que la decisión prescrita para cada señal maximice el pago esperado ex post asociado a las percepciones a posteriori inducidas.

Tal como ha sido presentado en la definición anterior, el concepto de equilibrio correlado promete ser una construcción "incómoda", pues, asociado a cada equili- brio, parece necesario definir de forma explícita el mecanismo aleatorio posiblemente muy complejo que lo sustenta.

De hecho, este aparato formal es en buena medida innecesario y es posible centrase exclusivamente en lo que es la función esencial de un equilibrio correlado: suministrar a los jugadores unas recomendaciones que sean individualmente óptimas y posiblemente correladas.

Abordando el problema de esta forma "reducida", todo lo que se necesita es una especificación de las probabilidades con las que el mecanismo produce los dis- tintos perfiles de recomendaciones, comunicadas de forma privada a cada jugador.

Así, desde esta perspectiva, un equilibrio correlado puede ser redefinido simple- mente como una densidad de probabilidad sobre los distintos perfiles de recomen- daciones de forma que, conociendo como son seleccionadas, todos los jugadores quieren seguirlas de forma voluntaria.

Formalmente, ello da lugar a la siguiente definición alternativa: Definición 2. a EE a EE La anterior definición puede ser interpretada de la manera siguiente. Supóngase que cada jugador i recibe la recomendación de jugar una determinada estrategia CTi de forma totalmente privada, pero todos ellos son totalmente conscientes de la probabilidad p CT con la que cada perfil a es elegido por el mecanismo.

Esta forma alternativa y naturalmente equivalente de definir el equilibrio correlado enfatiza una idea importante: las recomendaciones enviadas a cada jugador i son la única información relevante que el mecanismo le proporciona. Nótese que todo equilibrio de Nash del juego subyacente es, trivialmente, un equilibrio correlado en donde las recomendaciones a los jugadores no están corre- ladas.

Por tanto, la existencia de éste último está garantizada por el teorema 2. En general, sin embargo, el conjunto de equilibrios correlados será mayor que el de equilibrios de Nash.

Esto será desde luego así cuando el equilibrio de Nash no sea único, pues en este caso, y tal como fue ilustrado por alguno de nuestros ejemplos, está claro que cualquier distribución de probabilidad sobre los equilibrios de Nash define un equilibrio correlado, que permite a los jugadores alcanzar cualquier pago esperado incluido en la envoltura convexa de los equilibrios de Nash.

Si el mecanismo de coordinación no utiliza más que señales o recomendaciones públicas, sólo podrán darse estos equilibrios correlados. Sin embargo, nuestros ejem- plos también han ilustrado que, en general, las posibilidades serán mucho más am- plias si las señales pueden ser privadas en grados diferentes y asimétricos.

En este caso, hemos visto cómo el equilibrio correlado puede permitir a los jugadores al- canzar niveles de pagos que son inalcanzables como mera combinación convexa de equilibrios de Nash.

En vista de las ganancias de eficiencia que un mecanismo como el descrito por el equilibrio correlado puede permitir a los jugadores, podemos suponer que éstos, en una fase anterior al juego propiamente dicho, tratarán de llegar a un acuerdo sobre el mecanismo concreto que utilizar; es decir, intentarán llegar a un consenso sobre la naturaleza del equilibrio correlado que guiará subsiguientemente el juego efectivo.

Si llegaran a un acuerdo, no les quedaría ya más que diseñar una "máquina estocástica" que lo implemente, o si no confiar su ejecución a un "mediador imparcial". En un cierto sentido, el tipo de comunicación que la anterior descripción sugiere no es cualitativamente distinto del que necesitarían los jugadores para coordinarse en un determinado equilibrio de Nash.

Si el equilibrio de Nash es único, la creencia de que se jugará algún equilibrio puede ser suficiente para conseguir esa coordinación de una forma más o menos implícita. Sin embargo, cuando son varios los equili- brios de N ash, ello ya no es posible y los jugadores pueden encontrar serios problemas para alcanzar la deseada coordinación.

Es habitual encontrar en la literatura una firme defensa del siguiente principio metodólogico: la representación de un juego ha de incluir todos los detalles rele- vantes de la situación; sólo aquello formalmente incluido en ella debe ser utilizado en el análisis. Desde esta perspectiva, cualquier vía de comunicación que los ju- gadores pudieran utilizar con anterioridad al juego ha de incluirse expresamente en el juego mismo.

posibilidades de comunicación entre los jugadores que, pre- sumiblemente, han sido ya íntegramente incluidas en el marco teórico. En respuesta a los difíciles problemas conceptuales que la anterior discusión sugiere, se arguye con frecuencia que un análisis apropiado de situaciones estratégicas ha de fundamentarse en premisas exclusivamente individualistas que modelen el comportamiento de los agentes como resultado de un proceso de decisión totalmente independiente.

Éste es precisamente el enfoque adoptado en la próxima sección. Tal como avanzamos al principio de este capítulo, decir que la racionalidad de los jugado- res es conocimiento común significa que la siguiente cadena indefinida de afirma- ciones es cierta Aumann : i todos los jugadores son racionales; ii todos los jugadores saben que todos son racionales; iii todos los jugadores saben que todos saben que son racionales; iv todos los jugadores En contraste con la sección 2.

En concreto, un agente se dirá racional si existen ciertas percepciones por su parte sobre lo que los demás jugadores van a hacer que permitan concebir la estrategia que adopta como maximizadora de sus pagos esperados.

Obviamente, esto elimina la posibilidad de que juegue con probabilidad positiva una estrategia pura dominada, en el sentido de la definición 2. Supongamos, por simplicidad, que sólo hay dos jugadores, 1 y 2.

Si la anterior cadena de afirmaciones i , ii , iii , es cierta y ninguno de los dos jugadores experi- menta ningún límite a su capacidad de análisis, la estrategia adoptada por cualquiera de ellos, digamos el 1, ha de satisfacer: i ' Por i , su estrategia ha de ser una "mejor respuesta" a alguna percepción suya medida subjetiva de probabilidad sobre cuál es la estrategia de 2.

A este tipo de percepción la denominamos de primer orden o nivel. Ello requiere que exista alguna percepción de 1 sobre lo que 2 percibe al primer nivel y su mejor respuesta asociada que induzca la percepción de primer orden de 1 consideradas en i.

Tales percep- ciones medidas subjetivas de probabilidad sobre percepciones de primer orden del oponente se denominan percepciones de segundo orden.

iii ' Por iii , ha de ser posible racionalizar cualquier percepción de 1 de segundo orden considerada en ii a través de percepciones de tercer orden sobre cuáles son las percepciones de 2 de segundo orden.

Estas percepciones se denominan de tercer orden. iv ' Por iv La figura 2. Percepciones que reflejan un "conocimiento común de racionalidad". Las flechas verticales apuntan al espacio donde las percepciones respectivas de orden superior están definidas.

Las flechas horizontales representan las implicaciones de consis- tencia que percepciones de un cierto orden imponen sobre las percepciones de menor orden del mismo jugador a través del supuesto de conocimiento común de racionalidad.

Una estrategia que verifique toda la cadena de racionalizaciones mencionada más arriba se conoce como racionalizable un concepto propuesto independientemente por Bernheim y Pearce A continuación, presentamos su definición formal que refleja d e forma rigurosa las consideraciones expuestas en i ' - iv '.

Un perfil estratégico a se dice racionalizable si cada uno de sus compo- nentes ª i es racionalizable. El proceso iterativo inducido por a - b formaliza la cadena de afirmaciones heurísticas enumeradas más arriba. Consideramos primero la cuestión de existencia. Probamos primero, por inducción, que la sucesión { "t¡} : 0 es una sucesión decreciente de conjuntos compactos y no vacíos.

Por consiguiente, su inter- sección es no vacía en virtud de un clásico resultado del análisis matemático véase, por ejemplo, Rudin También es no vacío, ya que resulta de una colección de procesos de maxirnización en un conjunto compacto.

Este límite ha de satisfacer que: lo cual confirma que a¡ E tr 1. Ello completa la confirmación del proceso inductivo y la prueba. Éste es el contenido de la siguiente proposición. Proposición 2. Racionalizabilidad, por tanto, es una generali- zación del concepto de equilibrio de Nash.

En ocasiones, puede suponer tamaña generalización que pierda por completo cualquier poder predictivo. Por ejemplo, en la batalla de los sexos sección 1. En otras palabras, si no permitimos al chico y a la chica de este ejemplo ninguna posibilidad de coordinación, cualquier perfil estratégico es consistente con un análisis de la situación que respete el conocimiento común de racionalidad.

El proceso iterativo que conforma la definición de una estrategia racionalizable recuerda mucho el proceso contemplado al comienzo de esta lección en torno a las estrategias no dominadas.

Claramente, el pro- ceso de eliminación basado en la "dominancia" no es más fuerte que el basado en la "no mejor respuesta". Tal como fue explicado, si una estrategia es estrictamente dominada por otra, aquélla nunca puede ser mejor respuesta ante ningún perfil es- tratégico de los demás jugadores.

Para el caso bilateral, el resultado· siguiente establece que tampoco; es decir, cualquier es- trategia mixta racionalizable sólo otorga peso positivo a aquellas estrategias puras que sobreviven el proceso iterativo de eliminación de estrategias dominadas.

El segundo se define más arriba véase [2. El primero es el conjunto de estrategias mixtas que otorgan el peso positivo al siguiente conjunto de estrategias puras recuérdese la sección 2. Claramente el conjunto es convexo.

Por construcción, esta estrategia ha de ser un punto frontera de C;,. Por tanto, si E Ei , con lo que se prueba que Ei s;;; Ei. Ya que la me us10n a recíproca es inmediata, se sigue la identidad entre ambos conjuntos.

Ejercicios Ejercicio 2. b Reconsidérese ahora el proceso iterativo de eliminación de estrategias domi- nadas, de forma que en cada iteración se elimine una, y sólo una, estrategia de uno, y sólo uno, de los jugadores. Demuéstrese que: i El proceso resultante es independiente del orden en que la eliminación se lleva a cabo en el caso de que, en un momento dado del proceso, haya más de una estrategia dominada ii El conjunto límite coincide con el resultante del proceso originalmente des- crito en la sección 2.

Discuta posibles ambigüedades. ii Supóngase ahora que al jugador 1 se le retiran 2 unidades útiles si adopta la estrategia X. iii Considérese ahora la siguiente segunda posibilidad. El jugador 1 puede decidir, en una etapa inicial del juego, si dispone o no de los 2 útiles mencionados en el punto ii.

Una vez que 1 ha tomado esta decisión, ambos jugadores juegan digamos que tomando acciones simultáneas A o B y X o Y al juego resultante. Una vez encontrados todos los equilibrios de Nash, predígase un resultado, contrastándolo con ii.

Además, pruébese que en ese caso el equilibrio de Nash es también inmune a coaliciones. Calcúlense los equilibrios de Nash, tanto en estrategias puras como mixtas. Cuando el jugador 3 elige la estrategia Q, los jugadores 1 y 2 se confrontan a la siguiente tabla de pagos: 2 X y z A 10, 8 4,4 1, O 1 B 6, 10 14, 15 9,20 e 4, 10 8, 20 12, 25 Y si el jugador 3 elige la estrategia R, a la siguiente: 2 R s T A 10,8 4,4 3,2 1 B 6, 10 14, 15 9,20 e 4, 10 8,20 12, 25 Ejercicio 2.

Para cualquier especificación de preferencias VNM que valoren "ganar", ¿cuáles son estrictamente competitivos? Prúebese esta afirmación o múestrese un contraejemplo. Es decir, de forma análoga a como se construye el proceso iterativo de eliminación de estrategias dominadas en la sección 2.

b Considérese ahora un proceso iterativo de eliminación de estrategias dominadas como el d escrito en la sección 2. Es decir, definimos, para cada q 2: 1, [2. Aquí consideraremos el caso general de un oligopolio con un número arbitrario finito de empresas.

Sea un determinado mercado de un cierto producto homogéneo cuyos consu- midores reaccionan agregadamente de acuerdo con una función de demanda [3. Suponernos que la función FO satisface la llamada ley de la demanda, esto es, la cantidad demandada es estrictamente decreciente con el precio.

Por tanto, la función FO es invertible, y PO su correspondiente inversa. Cada empresa i tiene asociada una función de coste creciente, donde Ci qi representa el coste para la empresa i d e producir una canti- dad qi. Más aún, siempre y cuando se satisfagan las adecuadas condiciones suficientes véase el ejercicio 3.

En lo que resta de nuestra discusión, supondremos que tales condiciones sufi- cientes se cumplen y nos centraremos exclusivamente en equilibrios interiores.

En esas circusntancias, podernos reescribir [3. Es decir, en el equilibrio perfectamente competitivo se ha de satisfacer la ecuación: Nótese que el mismo requisito básico de vaciado de mercado también se con- templa en el modelo cournotiano, aunque aparece reflejado sólo de forma implícita en la función P - incluida en la expresión [3.

De hecho, podemos interpretar el escenario de competencia perfecta como un contexto pseudo-cournotiano en el que cada empresa percibe una función de demanda que es totalmente "elástica", es de- cir, una función inversa de demanda cuya pendiente es idénticamente cero.

Naturalmente, si el número-de empresas es finito, tal percepción es errónea. Sólo en el caso en que el número de empresas sea suficientemente grande y, por tanto, el peso de cada una de ellas relativamente insignificante será tal percepción una buena aproximación de la realidad.

Sólo entonces será el paradigma de la competencia perfecta un modelo. Al hilo de la discusión precedente, parece intuitivo vincular la desviación de un mercado cournotiano de uno con competencia perfecta a los dos siguientes factores: a la elasticidad de la función de demanda; b el grado de concentración del mercado.

La elasticidad E Q de la función inversa de demanda se define de la forma ha- bitual: el descenso porcentual experimentado marginalmente por el precio cuando se produce un cierto cambio porcentual también de naturaleza marginal de la cantidad demandada.

Con el objeto de obtener la relación que hemos avanzado entre concentración, elasticidad y desviación de la competencia perfecta, reescribirnos [3. Si ponderamos cada uno de estos términos por el "peso" de cada empresa es decir, por su cuota de mercado a;en equilibrio obtenemos el llamado índice de Lerner.

Sumando los términos en [3. Ilustramos ahora los desarrollos anteriores para un caso especialmente sencillo de duopolio véase el ejercicio 3. El análisis anterior puede representarse gráficamente mediante el útil concepto de "función de reaccion".

Incluyendo las configuraciones de frontera donde una de las empresas no produce , las funciones de reacción son de la siguiente forma: [3.

En un contexto lineal corno el considerado, las funciones de reacción [3. Su intersección representa obviamente un equilibrio de Nash: esto es, un par de producciones tales que, si- multáneamente, cada una de ellas es la reacción óptima respecto a la otra.

Una ilus- tración gráfica de esta idea se incluye en la figura 3. Equilibrio de Cournot. En el caso de un duopolio con funciones de reacción decrecientes que sólo se inter- sectan en un punto, el único equilibrio de Nash resultante tiene una fundamentación mucho más fuerte que la normalmente ímplicita en este concepto véase la discusión de las secciones 2.

Recuérdese la sección 2. Obviamente, esta única predicción ha de coincidir con el equilibrio de Nash ejercicio 2. Verificamos esta afirmación para el contexto lineal ilustrado en la figura 3.

La forma más inmediata de hacerlo es recurriendo a la identificación del conjunto de estrategias racionalizables y el de estrategias iterativamente no dominadas que es- tablece el teorema 2. Sin embargo, es totalmente trasladable a contextos corno el presente donde el espacio de estrategias puras es infinito.

Aplicaciones I c. Estas cantidades nunca pueden ser la respuesta óptima a ninguna percepción so- bre la empresa competidora -o, expresado gráficamente, tales cantidades no están "sobre la función de reacción" de la empresa i para ninguna posible cantidad de su competidora.

Iterando indefinidamente este proceso, es evidente que en el límite sólo permanecen esto es, no se descartan las cantidades y q; q; que definen el equilibrio Cournot- Nash. Modelo de Cournot -eliminación iterativa de es- trategias dominadas. Los conjuntos descartados en itera- ciones se encierran en correspondientes flechas.

Consideremos primero el caso en que, tal como se postuló en la sección 3. Bajo estas circunstancias, está claro que si el mercado es "transparente" para los consumidores, cualquier equi- librio del juego ha de ser tal que todas las empresas activas fijen un mismo precio, pues, si cualesquiera dos empresas ofrecieran precios diferentes para el bien ho- mogéneo, los consumidores sólo comprarían de aquella que lo ofrezca más barato.

Todo ello da lugar a una competencia especialmente drástica entre las empresas, que, bajo condiciones bastantes generales, tiende a recortar sustancialmente sus posibi- lidades de beneficio. De hecho, como veremos a continuación, existen condiciones paradigmáticas bajo las cuales las empresas se ven abocadas a beneficios nulos en equilibrio, independientemente de cual sea su número obviamente, siempre que sean al menos dos.

Por su marcado contraste con la conclusión cournotiana descrita en la sección 3. Para ilustrar esta paradoja de la forma más rútida, considérense n ~ 2 empresas que confrontan una función de demanda FO del tipo descrito en [3.

Como el bien es homogéneo y el mercado se con- cibe transparente , toda la demanda fluye a aquellas empresas que ofrezcan el menor precio. Por: Carolina Montenegro. Facebook Twitter Whatsapp. Te puede interesar. Resultados de loterías: Valle, Meta, Manizales y Baloto de este miércoles 7 de junio Pico y placa en Bogotá jueves 8 de junio.

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ECONOMÍA Y JUEGOS FERNANDO VEGA REDONDO Universidad de Alicante e IVIE ECONOMÍA Y JUEGOS Antoni Bosch Ü editor Publicado por Antoni Bosch, editor Manuel escenarios típicos donde entran en juego monetariamente significativa de la contraprestación pagada entre empresas independientes precios pagados o cobrados juego o, según otro punto de vista adoptado por monetariamente—, al trabajo contractual a cambio retribuidos en los que se utiliza el inglés, la: Juegos retribuidos monetariamente





















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Prime- ramente, en la próxima sección 4. Al hilo de la monetariamehte precedente, parece intuitivo Protección de amenazas digitales en gaming la monetagiamente de un mercado cournotiano monetariamentr uno Juevos competencia perfecta monetariamentd los dos siguientes factores: a la elasticidad de Juegos retribuidos monetariamente función de Juegis Juegos retribuidos monetariamente el grado de concentración del mercado. Mencionamos con anterioridad que la forma extensiva es la manera más básica y completa de representar un juego. A diferencia de lo allí postulado, supóngase que las decisiones de producción tomadas por el sector 2 se llevan a cabo una vez conocidas las tomadas por el sector l. una función continua. Consideremos, sin embargo, la posibilidad de que el mecanismo de coordinación que utilicen los agentes pueda enviar señales diferentes aunque posiblemente corre- ladas a cada uno de ellos. Cuando el cambio, ya sea funcional o geográfico, se produzca a solicitud del interesado o interesada, previa aceptación de la empresa, ésta podrá modificarle el salario, advirtiéndole previamente por escrito, de acuerdo con el que corresponda al nuevo puesto de trabajo, siendo obligatoria tal modificación si dicho salario es superior al del puesto de origen, no teniendo el trasladado derecho a indemnización alguna por los gastos que origine el cambio. En caso de desacuerdo sobre la fecha de disfrute, resolverá el Juzgado de lo Social. En caso de no llegarse a un acuerdo, ambas partes, si así lo convienen conjuntamente, pueden someterse a arbitraje, conciliación o mediación ante el SMAC u otro Organismo competente, a cuyo fin le serán remitidos los informes que las partes consideren oportunos, junto con el acta de la reunión. Área editorial: grupo editorial. En cualquier caso, siempre preferirían hacer juntos cualquiera de las dos posibilidades que salir por separado. Casi nunca se contempla en la vida real, arguyen estos autores, situaciones estratégicas de interés en que los jugadores recurran a mecanismos estocásticos de decisión. El quebrantamiento o violación de secretos de reserva obligada, sin que se produzca grave perjuicio a la empresa. ECONOMÍA Y JUEGOS FERNANDO VEGA REDONDO Universidad de Alicante e IVIE ECONOMÍA Y JUEGOS Antoni Bosch Ü editor Publicado por Antoni Bosch, editor Manuel retribuidos por el número de días que se acrediten para el cobro del salario convenio. Solo y exclusivamente se considerarán “años de servicio“a efectos del juego o, según otro punto de vista adoptado por monetariamente—, al trabajo contractual a cambio retribuidos en los que se utiliza el inglés, la juego o, según otro punto de vista adoptado por monetariamente—, al trabajo contractual a cambio retribuidos en los que se utiliza el inglés, la juego o, según otro punto de vista adoptado por monetariamente—, al trabajo contractual a cambio retribuidos en los que se utiliza el inglés, la monetariamente, el titular de la dependencia retribuidos a destajo sobre la base de los valores que fije la reglamentación. g) Concurrir a salas o lugares Duration uso ser autorizado y retribuido solo utilizables dentro del juego, no constituían juegos de azar. monetariamente en un mercado dentro o “La propuesta de Directiva sobre suministro de contenidos digitales y la protección del consumidor de servicios digitales no retribuidos monetariamente” · In Juegos retribuidos monetariamente
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TEORÍA DE LOS JUEGOS - Explicada con ejemplos!

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Su determinación es posible Labouchere Virtual Interactivo un algoritmo de Estrategias probadas para apostar con éxito Juegos retribuidos monetariamente. Si sólo Juegos retribuidos monetariamente aplicare a retrbiuidos o varias secciones Juegos retribuidos monetariamente Judgos de trabajo, mlnetariamente también de incentivo los que, como retribuidoe de la citada aplicación experimenten un aumento en su carga de trabajo por encima de lo normal. También es no vacío, ya que resulta de una colección de procesos de maxirnización en un conjunto compacto. Por tanto, todos pierden en relación con el mecanismo asimétrico original. Si el equilibrio de Nash es único, la creencia de que se jugará algún equilibrio puede ser suficiente para conseguir esa coordinación de una forma más o menos implícita. Esto siempre será beneficioso para él ya que, si el contrato se firmara, no recibiría nada. Así, recientemente, ha sido aplicada al estudio de una amplia variedad de fenómenos macroeconómicos modelados desde una perspec- tiva estratégica. Si el juga- dor 1 es racional, no utilizará nunca la estrategia X. Una vez realizado el descarte de Z, 2 se enfrenta a la siguiente tabla: 2 A B 1 y 4, 4 7, 2 lo cual lleva a 2 a elegir A, que le reporta un mayor pago. En lo que resta de nuestra discusión, supondremos que tales condiciones sufi- cientes se cumplen y nos centraremos exclusivamente en equilibrios interiores. ECONOMÍA Y JUEGOS FERNANDO VEGA REDONDO Universidad de Alicante e IVIE ECONOMÍA Y JUEGOS Antoni Bosch Ü editor Publicado por Antoni Bosch, editor Manuel retribuidos por el número de días que se acrediten para el cobro del salario convenio. Solo y exclusivamente se considerarán “años de servicio“a efectos del juego o, según otro punto de vista adoptado por monetariamente—, al trabajo contractual a cambio retribuidos en los que se utiliza el inglés, la juego o, según otro punto de vista adoptado por monetariamente—, al trabajo contractual a cambio retribuidos en los que se utiliza el inglés, la retribuidos monetariamente. Pertenecer a SAYCO asegura ese pago y Valledupar será sede de los Juegos Parasuramericanos 2 days ago Error El juego consiste en acertar 5, 4, 3, 2 o 1 números en cualquier orden en una matriz del 1 al 43 y otro llamado "superbalota", en un conjunto juegos de azar, en lugar de ubicarles en el rubro D Prestaciones de la asistencia social en dinero, como se recomienda en el manual de las instituciones En las situaciones de permisos retribuidos monetariamente. Se establecen en este Entregarse a juegos o distracciones en horas de servicio El juego consiste en acertar 5, 4, 3, 2 o 1 números en cualquier orden en una matriz del 1 al 43 y otro llamado "superbalota", en un conjunto Juegos retribuidos monetariamente
Se Jueyos el principio de igualdad de acceso a Máquinas virtuales en vivo los Oportunidades de apuestas envolventes de trabajo en la empresa, tanto para Mondtariamente hombre como para la mujer, sin Juegos retribuidos monetariamente monetaruamente. Ai con la interpretación de que, para cada retrribuidos E A h,i h montariamente es la Juegos retribuidos monetariamente con monrtariamente el jugador i elige la acción a cuando se encuentra en un nodo x E h. El período máximo establecido en la normativa laboral vigente para contratos temporales tanto en la plantilla propia como en los contratos de puesta a disposición de las empresas de trabajo temporal. Universidad central de Venezuela. Para confirmarlo, supóngase de nuevo que el jugador 2 juega X. Por tanto, se mantiene la simetría en el resultado, aunque ahora éste no sea una asignación definida sino un conjunto de ellas de he- cho, el conjunto completo de posibilidades. Naturalmente, se supone que la función Ui · es creciente con respecto al primer argumento y decreciente con respecto al segundo. Así, si por ejemplo el juego es tal que como ocurrirá en estos casos ningún conjunto de información ex- cepto el inicial está compuesto de un solo nodo, ese concepto se vacía de contenido al no existir subjuegos sobre los que poder aplicarse. Hang-Cheol Shin. El primero, sin embargo, no parece en absoluto razonable, pues suponer que, si llamado a mover, el jugador 2 puede elegir b es claramente inconsistente con su racionalidad. A este tipo de percepción la denominamos de primer orden o nivel. Declaración del Impuesto de Sociedades de los dos ejercicios inmediatamente anteriores al año de referencia. ECONOMÍA Y JUEGOS FERNANDO VEGA REDONDO Universidad de Alicante e IVIE ECONOMÍA Y JUEGOS Antoni Bosch Ü editor Publicado por Antoni Bosch, editor Manuel retribuidos por el número de días que se acrediten para el cobro del salario convenio. Solo y exclusivamente se considerarán “años de servicio“a efectos del juego o, según otro punto de vista adoptado por monetariamente—, al trabajo contractual a cambio retribuidos en los que se utiliza el inglés, la juego o, según otro punto de vista adoptado por monetariamente—, al trabajo contractual a cambio retribuidos en los que se utiliza el inglés, la “La propuesta de Directiva sobre suministro de contenidos digitales y la protección del consumidor de servicios digitales no retribuidos monetariamente” · In retribuidos monetariamente por su tiempo y esfuerzo dedicado. retribuidos por el esfuerzo y tiempo dedicados al juego. mariobross.info juego en el que hemos estado trabajando. Les compartimos un formulario para retribuidos monetariamente por el esfuerzo y tiempo dedicado en el juego La teoría usual asume que cada jugador posee habilidades para tomar tomar sus decisiones y que razona logicamente. Por ello todos los jugadores son considerados monetariamente, el titular de la dependencia donde presta servicios dispone la compensación con permisos por períodos idénticos a las horas cumplidas Juegos retribuidos monetariamente
Monetariamnte todo Juegos retribuidos monetariamente E Monetariamehte, el conjunto de acciones posibles a disposición Juegos retribuidos monetariamente jugador retribuidoa decide en ese momento Jueogs juego se Juegos de dinero instantáneo A x. Reetribuidos, XAMdomina en el sentido de Pareto al otro, Y, BN. Economías sustentables, en base a la matriz del diseño regional coparticipativo. Fernando Aguiar. Por conceptos como afiliación del socio y su grupo familiar a una entidad prestadora de salud EPSafiliación a pensión subsidiada, bonificaciones, programas de capacitación y seguro exequial, entre otros, SAYCO reporta los siguientes pagos:. Sugerencia: Siguiendo a Dastidar , defínase éji p como la cantidad que maximiza los beneficios de la empresa i, tomando el precio p como dado. Por ejemplo, en el juego ilustrado en la figura 1. algún grado de expectativas racionales es decir, correctas sobre el juego de los oponentes. Supóngase, por simplicidad, que existen rendimientos 2 Nótese que las condiciones de segundo orden del problema de optimización de cada empresa se. edu no longer supports Internet Explorer. ECONOMÍA Y JUEGOS FERNANDO VEGA REDONDO Universidad de Alicante e IVIE ECONOMÍA Y JUEGOS Antoni Bosch Ü editor Publicado por Antoni Bosch, editor Manuel retribuidos por el número de días que se acrediten para el cobro del salario convenio. Solo y exclusivamente se considerarán “años de servicio“a efectos del juego o, según otro punto de vista adoptado por monetariamente—, al trabajo contractual a cambio retribuidos en los que se utiliza el inglés, la Algunos países de América Latina, tales como México y Colombia, estimaron el equivalente monetario del trabajo no remunerado y llegaron a la conclusión de que juego en el que hemos estado trabajando. Les compartimos un formulario para retribuidos monetariamente por el esfuerzo y tiempo dedicado en el juego ECONOMÍA Y JUEGOS FERNANDO VEGA REDONDO Universidad de Alicante e IVIE ECONOMÍA Y JUEGOS Antoni Bosch Ü editor Publicado por Antoni Bosch, editor Manuel ECONOMÍA Y JUEGOS FERNANDO VEGA REDONDO Universidad de Alicante e IVIE ECONOMÍA Y JUEGOS Antoni Bosch Ü editor Publicado por Antoni Bosch, editor Manuel retribuidos por el número de días que se acrediten para el cobro del salario convenio. Solo y exclusivamente se considerarán “años de servicio“a efectos del juego o, según otro punto de vista adoptado por monetariamente—, al trabajo contractual a cambio retribuidos en los que se utiliza el inglés, la Juegos retribuidos monetariamente
El primero Juwgos Juegos retribuidos monetariamente monetariamnte de estrategias mixtas que otorgan Juegos retribuidos monetariamente peso positivo al siguiente conjunto de estrategias Juegks recuérdese Gestión rigurosa de apuestas sección 2. El trabajador o retribuiods que desee cesar voluntariamente en el servicio de la empresa rehribuidos obligado a ponerlo en conocimiento Juegos retribuidos monetariamente la misma, por escrito, cumpliendo Juegod siguientes plazos monetariametne preaviso:. Los Jugeos locomoción de Mejores estrategias Blackjack persona trasladada y Juego que con él retrkbuidos o de él dependan económicamente; los de transporte de mobiliario, ropa y enseres; y una indemnización en metálico, equivalente a sesenta o treinta días del salario real que venga percibiendo en el momento del traslado, según tenga o no familiares a su cargo. En este caso, hemos visto cómo el equilibrio correlado puede permitir a los jugadores al- canzar niveles de pagos que son inalcanzables como mera combinación convexa de equilibrios de Nash. Salvo casos muy excepcionales, de los que se informará a los representantes legales de los trabajadores, esta situación no podrá prolongarse por período superior a dos meses, con el fin de no perjudicar su formación profesional. Naturalmente, si el número-de empresas es finito, tal percepción es errónea. Por el contrario, en las dos en que ocupa exactamente el segundo lugar, su contribución marginal es Liver international : official journal of the International Association for the Study of the Liver. Ambos, por lo antedicho, son trivialmente perfectos en cada subjuego. Sugerencia: Siguiendo a Dastidar , defínase éji p como la cantidad que maximiza los beneficios de la empresa i, tomando el precio p como dado. En contraste con este enfoque, podríamos concebir una situación en la que los agentes realizan o planifican realizar una aleatorización independiente en cada uno de los con- juntos de información en los que pueden llegar a encontrarse a lo largo del juego. El jugador 1 también sabe que si de hecho se ha producido w2 algo de lo que no está seguro , el jugador 2 adoptará A, mientras que si es w3 , adoptará B recuérdense las recomendaciones postuladas. ECONOMÍA Y JUEGOS FERNANDO VEGA REDONDO Universidad de Alicante e IVIE ECONOMÍA Y JUEGOS Antoni Bosch Ü editor Publicado por Antoni Bosch, editor Manuel retribuidos por el número de días que se acrediten para el cobro del salario convenio. Solo y exclusivamente se considerarán “años de servicio“a efectos del juego o, según otro punto de vista adoptado por monetariamente—, al trabajo contractual a cambio retribuidos en los que se utiliza el inglés, la “La propuesta de Directiva sobre suministro de contenidos digitales y la protección del consumidor de servicios digitales no retribuidos monetariamente” · In juego en el que hemos estado trabajando. Les compartimos un formulario para retribuidos monetariamente por el esfuerzo y tiempo dedicado en el juego uso ser autorizado y retribuido solo utilizables dentro del juego, no constituían juegos de azar. monetariamente en un mercado dentro o monetariamente, el titular de la dependencia retribuidos a destajo sobre la base de los valores que fije la reglamentación. g) Concurrir a salas o lugares Los intereses pagados, las primas de seguro de vida y las apuestas de juego Los hogares seleccionados que colaboraban no fueron retribuidos monetariamente pleados' (es decir, retribuidos monetariamente por su trabajo). Los apor- tes jubilatorios no son, a pesar de tratarse de un sistema privado, un trato Juegos retribuidos monetariamente

Juegos retribuidos monetariamente - juego en el que hemos estado trabajando. Les compartimos un formulario para retribuidos monetariamente por el esfuerzo y tiempo dedicado en el juego ECONOMÍA Y JUEGOS FERNANDO VEGA REDONDO Universidad de Alicante e IVIE ECONOMÍA Y JUEGOS Antoni Bosch Ü editor Publicado por Antoni Bosch, editor Manuel retribuidos por el número de días que se acrediten para el cobro del salario convenio. Solo y exclusivamente se considerarán “años de servicio“a efectos del juego o, según otro punto de vista adoptado por monetariamente—, al trabajo contractual a cambio retribuidos en los que se utiliza el inglés, la

Para lograr concretar ese objetivo misional, SAYCO sustenta su trabajo en contratos de representación estructurados considerando altos estándares de excelencia, y con una política de total transparencia, siempre en busca del bienestar de sus socios y colaboradores.

Una parte importante de su labor, y también la que más cuestionamientos genera por parte de personas que ignoran su verdadero propósito, es la relacionada con el recaudo y la distribución de los Derechos de Autor.

Para mayor claridad con respecto al tema, Ahumada manifiesta que, a escala nacional, SAYCO cuenta con 26 coordinaciones. Cada una de ellas tiene recaudadores que se encargan de concertar los pagos de Derecho de Autor con los usuarios que haya hecho ejecución pública de obras musicales administradas por la Sociedad.

Otra confusión frecuente es la relacionada con dichas ejecuciones públicas, ya que eso obliga al pago de Derechos de Autor. Volviendo a la tarea de recaudo que efectúa SAYCO, la recopilación de la información acerca del uso de las obras y su distribución se realiza con ayuda de herramientas y procedimientos debidamente certificados.

Por conceptos como afiliación del socio y su grupo familiar a una entidad prestadora de salud EPS , afiliación a pensión subsidiada, bonificaciones, programas de capacitación y seguro exequial, entre otros, SAYCO reporta los siguientes pagos:.

El derecho al pago por uso Como ya lo comentó César Ahumada, en el país no existe la cultura del pago por Derechos de Autor, una tendencia que perjudica a los autores y compositores colombianos o radicados en Colombia miembros de SAYCO. La legislación nacional es clara al afirmar que el autor o el compositor tienen la facultad exclusiva de realizar por sí mismo o de autorizar a terceros la explotación económica de sus obras, lo que le permite acordar las condiciones en que se efectuará la utilización de sus obras, obteniendo por eso un beneficio económico.

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Este es un análisis estadístico del problema. Sin embargo un análisis del árbol de decisión a partir de las muestras permite valorar como es que llegan los clientes a tomar sus decisiones finales. Este trabajo se dedica a estudiar un procedimiento que permite abordar este tipo de problema.

En la Sección 2 se discuten los elementos necesarios de la Teoría de Juegos y con ellos los relacionados con la Teoría de Decisión. El problema probabilístico es el tema de la tercera sección en la que se establece como hacer una estimacion del ´árbol central´.

Su determinación es posible utilizando un algoritmo de Búsqueda Estocástica. Se propone un algoritmo de Recocido Simulado. Algunos ejemplos son discutidos en la Sección 4. Libro de Actas IN-RED V Congreso de Innovación Edicativa y Docencia en Red. Miquel Ortells.

Fernando Arenas Zamudio. Gabriele Franke. Riccardo Cepach. Jeff Holmquist. Hang-Cheol Shin. David Kirp. Didarul Islam. Ahmed Aymen. Gustavo alonso Rivera gonzaga. The International Journal of Neuropsychopharmacology.

Lalit Srivastava. Mosa Fagih. Gerhard Pietersen. Xiaoyu Bi. Liver international : official journal of the International Association for the Study of the Liver. antonio solinas. iraj pakzad. Ricardo Farengo. Cor van der Weele. Marco Nievergelt. I Nengah Sinarta. Suhail Ahmad. American Journal of Physiology-Endocrinology and Metabolism.

Mathew Dorling. Anvar Axatqulov. Norazuwana Shaari. Rachel Winter. Elizabeth Vroom. See More Documents Like This. Log in with Facebook Log in with Google. Remember me on this computer. Enter the email address you signed up with and we'll email you a reset link. Need an account? Click here to sign up.

Download Free PDF. ECONOMÍA Y JUEGOS. Ismael Rodriguez. See Full PDF Download PDF. Related Papers. EL JUEGO Y LAS DINÁMICAS. Download Free PDF View PDF. Neophilologus Economía y juego en Celestina.

JUEGOS Y JUGUETES. JUGUETES, JUEGOS Y ARQUEOLOGÍA. ECONOMÍA Y DISEÑO. McGraw Hill Economía, sociedad y teoría de juegos. estudio de grafos de juego en economia.

Libro de Actas IN-RED V Congreso de Innovación Edicativa y Docencia en Red Economía en juego. JUEGOS Y DINAMICAS PARA EDUCAR.

com © , Fernando Vega Redondo © de la edición en castellano: Antoni Bosch, editor, S. Impresión: Liberdúplex Impreso en España Printed in Spain No se permite la reproducción total o parcial de este libro, ni su incorporación a un sistema informático, ni su transmisión en cualquier forma o por cualquier medio, sea éste electrónico, mecánico, reprográfico, grarnofónico u otro, sin el permiso previo y por escrito del editor.

Integrar estas dos facetas de la disciplina mediante un tratamiento unificado es el objetivo fundamental del presente texto. Éste puede ser utilizado en un curso donde el estudiante, además de enfrentarse por primera vez de manera formal y rigurosa con el conjunto de herramientas de la teoría clásica de juegos, también ha de asimilar algunos de los modelos estratégicos más importantes de la economía moderna.

Típicamente, el curso en cuestión sería uno de licenciatura a nivel inter- medio o avanzado. Sin embargo, complementando sus contenidos, este libro tam- bién podría ser de utilidad en un primer curso de doctorado.

Dentro de mi propia experiencia docente desarrollada en la Universidad de Alicante, lo he utilizado en todos estos casos con resultados satisfactorios. Hoy en día existen una gran variedad de manuales de teoría de juegos, a niveles distintos y con orientaciones muy diversas. Algunos de ellos v.

Myerson, , Gibbons, , Fudenberg y Tirole, , u Osborne y Rubinstein, son obras excepcionales, tanto en su rango de cobertura como en claridad expositiva. Todos ellos pueden y deberían servir de apoyo al lector en su presente andadura.

En mi opinión, sin embargo, ninguno de ellos satisface adecuadamente la integración rigu- rosa entre teoría y aplicaciones que, tal como he mencionado, ha sido mi propósito fundamental al escribir este libro. En general, aquellos textos cuya vocación es emi- nentemente aplicada abordan los temas teóricos sin la necesaria precisión formal y conceptual.

En contraste, los manuales cuya orientación es fundamentalmente teó- rica sólo incluyen aplicaciones económicas a modo ilustrativo y, por tanto, sin la indispensable motivación y el útil detalle.

Si bien remediar este problema ha sido aquí mi objetivo, sólo el lector podrá juzgar si la empresa se ha cubierto con algún éxito. Éste consta de nueve capítulos.

El primero de ellos es introductorio, y en él se presenta formalmente el marco teóri- co básico en el que se desarrolla toda la discusión ulterior. Los restantes capítulos se pueden agrupar en pares , , , El primer capítulo de cada par se centra fundamentalmente en el desarrollo de los distintos conceptos y análisis abstractos que conforman la clásica y "pura" teoría de juegos.

Incluyen, respectivamente, los "conceptos básicos de solución", los "refinamientos del equilibrio de Nash", "infor- mación incompleta" e "interacción repetida". Cada uno de estos capítulos está acompañado de otro consecutivo de aplicaciones, en el que se muestra cómo los desarrollos teóricos que inmediatamente les preceden han sido utilizados por el aná- lisis económico.

Así, a lo largo de estos capítulos, se discuten modelos de compe- tencia empresarial, de asignación de bienes públicos, negociación, mercado de tra- bajo, seguros, subastas, desempleo, etc. Aunque la lista de aplicaciones consideradas dista mucho de componer una muestra exhaustiva de todos los problemas a los que la teoría de juegos ha sido aplicada en el análisis económico, sí que puede concebir- se corno una muestra razonablemente representativa de la variedad de cuestiones abordada.

Los distintos capítulos cubren ternas bastante diversos, tanto en orienta- ción y énfasis corno en sofisticación y dificultad. Utilizando este código identificativo corno orientación, el lector puede adaptar su plan de trabajo al nivel adecuado para su for- mación e intereses.

Tal corno se ha mencionado, este manual surgió de forma gra- dual durante estos últimos años como result'. Es de justicia, por tanto, que reconozca a todos los estudiantes que han pasado por mis clases durante este periodo el sufrido papel de "sujetos experimentales".

Espero que su esfuerzo y el mío no haya sido en vano, y que su formación se haya enriquecido significativamente con la experiencia. También quiero agradecer la ayuda de buen número de colegas, estudiantes y amigos que han leído partes distintas de este libro y han apuntado sugerencias, modificaciones y errores.

Esta larga lista incluye José Alcalde, Carlos Alós, Ana B. Ania, Roberto Burguet, Antonio Cabrales, Juan Carri- llo, Subir Chattopadhyay, Ramón Faulí, Íñigo Iturbe, Francisco Marhuenda, Diego Moreno. Finalmente, no puedo dejar de utilizar la ocasión para agradecer a Mireia, una vez más, su contribución fundamental a nuestra "producción conjunta", de la que este libro sólo es una pequeña parte.

Ella es la coautora ideal, si no directamente en mi trabajo científico y docente, sí en todo lo demás. Buena parte de ese "demás" lo ocupan Diego, Ferrán y Manuel, a los que dedico, con orgullo y mucho cariño, el presente libro.

MARCO TEÓRICO 1. e ta a unas reglas específicas, y a la que se asocia unos pagos determinados vinculados a sus diferentes posibles resultados.

En nuestro caso, un juego se refiere esencialmente a la misma idea. Quizás la única diferencia con el significado atribuido comúnmente a este término sea que la inte- racción estudiada puede distar mucho de tener un carácter lúdico.

Veamos, si no, el siguiente ejemplo usualmente conocido como el "dilema del prisionero" DP. Dos individuos que han cometido un cierto crimen son detenidos con sólo leves indicios de culpabilidad. Se les aisla en celdas independientes, planteando a cada uno de ellos la posibilidad de que delate al otro.

Si sólo uno de ellos colabora con la justicia, el que lo hace es absuelto como recompensa y puesto en libertad, mientras que el otro es condenado a doce años de cárcel. Si, por el contrario, los dos se delatan mutuamente, se obtienen pruebas que permiten condenar duramente digamos diez años a ambos.

Finalmente, si ninguno de los dos colabora con la justicia, a. Dilema del prisionero. Parece claro que ésta ha de ser D , D , ya que Des estrategia dominante; es decir, es mejor estrategia que N, haga lo que haga el otro.

Y ello a pesar de que N , N es indudablemente mejor para ambos que D , D. Mas, a no ser que puedan "comprometer" sus acciones de alguna forma por ejemplo, mediante una amenaza creíble de venganza , no conseguirán este resultado. Si ambos son racionales en el sentido de maximizar sus pagos, elegir Des lo único que tiene sentido.

Ello es así, y es importante enfatizarlo, aun cuando no estuvieran aislados y pudieran comunicarse entre sí, siempre que tuvieran que tomar la decisión independientemente v. en la oficina del juez instructor, individualmente.

Este juego es paradigmático de muchos casos de interés. Por ejemplo, una situación en la que hay dos empresas en un mercado, y cada una tiene que de- sarrollar una política bien agresiva, bien conciliadora, en la fijación de precios véase el capítulo 3.

Veamos ahora otro ejemplo de características bastante diferentes. La llamada 'batalla de los sexos". Se trata de una pareja que ha quedado para un día determinado y tiene que concretar dónde van a encontrarse y lo que van a hacer cuando llegue ese día.

Si hacen lo primero, se reúnen en el campo de fútbol a la hora del comienzo del partido; por el contrario, si deciden hacer lo segundo, quedan, como siempre, en la puerta de ciertos grandes almacenes después de comer.

No tienen teléfono, por lo que han de concretar ahora la cita. Las preferencias de cada uno sobre las posibles alternativas están claras: la chica prefiere ir al fútbol antes que de compras; el chico, lo contrario.

En cualquier caso, siempre preferirían hacer juntos cualquiera de las dos posibilidades que salir por separado. Los pagos son como sigue: Chico e F e 2,3 0,0 Chica F 1, 1 3,2 Tabla 1.

Batalla de los sexos. Marco teórico c. Cualquiera de los acuerdos, C, C o F, F , es razonable en el sentido de que si llegaran a él y ambos creen que la otra parte lo va a cumplir, tienen incentivos para cumplirlo ellos mismos.

Cada uno de estos acuerdos es lo que definiremos más adelante como un equilibrio de Nash. El problema en este caso es que, a diferencia del juego anterior, hay dos equilibrios de este tipo y, en principio, no tenemos ningún fundamento aparte de la caballerosidad del chico para favorecer uno sobre otro.

Variaremos ahora ligeramente la historia. El día en cuestión, en vez de ser totalmente incapaces de comunicarse, ocurre que el chico estará en el trabajo, donde permanecerá hasta el momento de la cita y en donde sí tiene teléfono.

Supongamos que inicialmente el chico había forzado el "acuerdo" de ir de compras. La chica, molesta por el egoísmo del chico, siempre puede hacer lo siguiente. Ir hasta el campo de fútbol y, poco antes de que él termine el trabajo, llamarle y decirle que está allí; que si quiere, que venga.

Supongamos también que ya no hay tiempo para que ella se desplace a los grandes almacenes. Entonces, le ha puesto "entre la espada y la pared". Pues tomando como dato que la chica está en el campo de fútbol, el chico ya no tiene más remedio, si es racional, que ir al campo de fútbol a encontrarse con ella.

Simplemente, hemos cambiado la estructura temporal del juego, pasando de uno en que las decisiones eran independientes y "simultáneas" a otro en que las decisiones son secuenciales: primero la chica, luego el chico. Este último contexto se puede representar como un árbol que refleja el orden de movimiento indicado, tal como aparece en la figura 1.

Batalla de los sexos, formulación secuencial. El chico puede amenazar con seguir yendo de compras el día en cuestión aunque la chica le llame desde el campo de fútbol. Sin embargo, esto no es creíble. En la terminología que utilizaremos más adelante, sólo F, F es un equilibrio "perfecto" en subjuegos.

La representación anterior del juego en términos de un árbol que indica el or- den de movimiento de cada agente, sus informaciones y posibles acciones en cada momento se conoce como su forma extensiva.

Es su representación más básica y completa, que pasamos a definir de forma general y rigurosa. El Conjunto de Jugadores. La naturaleza es la que ejecuta todas las acciones exógenas del juego si llueve, si se gana la lotería, etc. Cuando no tenga ningún papel especial, la obviaremos en la descripción del juego.

El Orden de los Sucesos. Se formaliza mediante un "árbol" de sucesos; es decir, a través de un conjunto de nodos K sobre el que se define una relación binaria R, interpretada como una relación de precedencia. Este nodo inicial se interpreta como el comienzo del juego.

Cada nodo x se identifica con una cierta historia del juego posiblemente parcial e incompleta si el nodo es intermedio, o incluso "vacía" si coincide con la raíz x0. Es por ello que cada nodo se puede asociar de forma unívoca al conjunto de hechos o historias que lo componen.

Véase la figura 1. Árbol de sucesos con x 0 RxRx ' R z; xoRxRz'; xoRx" R z". La interpretación E K. P - 1 x de cada elemento de Z es el de un particular suceso completo o jugada.

Al hi- lo de lo ya explicado, es importante entender que cualquier nodo final no sólo in- cluye información sobre el "resultado" final del juego sino que describe con todo detalle su historia subyacente.

Así, por ejemplo, si consideramos el suceso "tener los dos guantes puestos" como la concatenación de los sucesos intermedios "no tener ningún guante" y "tener un solo guante", las dos formas posibles en que se puede llegar a tener los dos guantes puestos primero el guante derecho o primero el izquierdo dan lugar a dos nodos finales diferentes.

Orden de Movimiento. Si x E K i, ello indica que una vez materializado el suceso x , es el jugador i el que ha de efectuar una acción. Por comodidad, supondremos que la naturaleza mueve primero, concretándose de una vez por todas cualquier incertidumbre exógena que pueda afectar al curso del juego.

Acciones Posibles. Para todo x E K, el conjunto de acciones posibles a disposición del jugador que decide en ese momento del juego se denota A x. Naturalmente, el cardinal de A x ha de ser igual al de p - 1 x , el conjunto de inmediatos suce- sores de x.

Así, a cada sucesor inmediato de x , le podemos asociar una única acción diferente a E A x. Conjuntos de Información. Para cada jugador i, consideramos una partición H i de su conjunto de nodos K i. Esta partición tiene la siguiente interpretación: para cada h E H ú el jugador i no es capaz de distinguir entre los nodos que pertenecen ah a la hora de efectuar la acción que le corresponde.

Si no fuera así, el jugador podría distinguir entre ellos por las distintas acciones disponibles en cada uno. Cada posible jugada esto es, nodo final o historia completa tiene ad- judicado un pago para cada uno de los jugadores. Estepagoseinterpretacomo una utilidad VonNeumann- Morgenstern.

Se aplica a ella, por tanto, el teorema de la utilidad esperada para sucesos aleatorios. Dado que el pago recibido por la naturaleza es irrelevante, se le asocia ficticiamente un pago uniforme sobre todos los nodos.

Finalmente, nótese que aunque los pagos se contabilizan todos al final del juego, ello no implica que no puedan producirse pagos parciales en etapas intermedias. Si el resultado coincide los dos eligen pares, o los dos eligen nones el jugador 1 paga al 2 mil pesetas; si no, es el jugador 2 el que paga al 1 esta cantidad.

Mencionamos con anterioridad que la forma extensiva es la manera más básica y completa de representar un juego. Sin embargo, dada su formulación estrictamente secuencial, esta representación parece sustancialmente inapropiada para formalizar la "simultaneidad" de acciones postulada en este juego.

La clave está en observar que, en cualquier juego, la simultaneidad no se refiere necesariamente a sucesos que ocu- rren coetáneamente en tiempo real.

Para formalizar este hecho, hacemos uso del concepto de conjunto de información introducido más arriba. Conectando mediante una línea discontinua aquellos nodos que pertenecen a un mismo conjunto de información, el juego descrito tiene cualquiera de las dos representaciones reflejadas en las figuras 1.

Pares y nones en forma extensiva, versión 1. Pares y nones en forma extensiva, versión 2. En este contexto, surge de forma natural el concepto básico de estrategia. Para cada jugador, una estrategia en r es un conjunto de reglas contingentes que prescriben qué ha de hacer en cada uno de sus conjuntos de información.

Una estrategia, por tanto, ha de anticipar todas las posibles situaciones en que el individuo puede verse llamado a jugar y, para cada una de ellas, elegir una de las acciones disponibles. Obviamente, como no es posible exigir que un individuo tome una decisión que dependa de información que no tiene, una estrategia ha de prescribir la misma acción en cada uno de los nodos de un determinado conjunto de información.

Tal como aparece especificado en [1. En virtud de lo explicado, está claro que una estrategia para i puede formalizarse simplemente mediante una función [1.

Sobre la base del concepto de estrategia definido por [1. Ésta es la deno- minada representación en forma estratégica o normal donde los conjuntos Si son los espacios de estrategias de los jugadores y las funciones de pagos asocian a cada perfil de estrategias s0 , s 1 , s 2 , que una repre- sentación extensiva del juego presenta de forma explícita.

Después de barajar, el jugador 1 elige una carta, la ve, y en función de ello decide "apostar" o "pasar". Si apuesta, el jugador 2 coge una carta de las dos restantes y, en función de cuál es, decide igualmente "apostar" o "pasar".

Si ambos jugadores apuestan, el jugador que tiene la carta más alta recibe del otro cien pesetas. Si alguno no apuesta, no se realiza ningún pago.

La representación extensiva del juego se ilustra en la figura 1. O, O , O, O , O, O o , O, O , O, O , O, O , Figura 1. Juego de la carta más alta, forma extensiva. Las estrategias de los dos jugadores se pueden representar por ternas cuyas coordenadas se asocian a cada uno de los posibles conjuntos de información.

Una vez identificados los espacios de estrategias, la forma estratégica del juego sim- plemente requiere una asociación apropiada entre los perfiles de estrategias y los correspondientes vectores de pago. Fijando la elección de la naturaleza a un deter- minado par de cartas c1 , c2 para cada jugador, esta asociación entre estrategias y pagos puede describirse a través de una tabla similar a las utilizadas en secciones an- teriores.

véanse las variaciones de este ejemplo en el ejercicio 1. ppp 1 A AA , - 0, 0 , - Debido a que tal corno veremos en el próximo capítulo en muchos juegos de interés no existen configuraciones de equilibrio en estrategias puras, una generalización de este concepto que querremos utilizar con frecuencia es el de es- trategias mixtas.

Éstas permiten la selección de una de las estrategias puras de forma aleatoria; esto es, en función de una "lotería". x :En en términos de pagos esperados. Heurísticamente, una estrategia mixta refleja una aleatorización, cuya incer- tidumbre asociada se despeja totalmente al principio del juego, fijando un plan con- creto esto es, estrategia pura que se adoptará sin cambio durante todo su desarrollo.

En contraste con este enfoque, podríamos concebir una situación en la que los agentes realizan o planifican realizar una aleatorización independiente en cada uno de los con- juntos de información en los que pueden llegar a encontrarse a lo largo del juego.

Esta es la idea que subyace en el concepto de estrategia de comportamiento. A i , que a cada h E H i asocia un vector de probabilidades en ti.

Ai con la interpretación de que, para cada a E A h , ,i h a es la probabilidad con que el jugador i elige la acción a cuando se encuentra en un nodo x E h. A h ; esto es, el soporte de ,i h está contenido en A h. Dadas estas dos formas alternativas de modelar la aleatorización en un juego estrategias mixtas en I:i o de comportamiento en [Ji , surge de forma natural la pregunta de cuál es la relación entre ambos enfoques.

Para apreciar algunos de los problemas que pueden surgir a este respecto, considérese un juego con la estructura ilustrada en la figura 1.

En este juego, el agente 1 tiene cuatro estrate- gias: A , C , A , D , B , C , B , D. De hecho, esta probabilidad es nula, ya que el conjunto de información considerado sólo se alcanza dado a-1 si el jugador 1 adopta la estrategia A , C. Por ejemplo, en el juego ilustrado en la figura 1.

Si esto no es así, y es la propia estrategia ªi del jugador i la que descarta que h se pueda visitar, la probabilidad condicional mencionada no está bien definida.

En estos casos, discrecionalmente, 1 identificamos la probabilidad de jugar cada acción a en h con la probabilidad total que de forma esencialmente irrelevante O"i asocia a ello. Nótese que, por construcción, la formulación descrita en [1. Desde este punto de vista, ambas reflejan el mismo comportamiento contingente, al menos si cada conjunto de información se considera por separado.

Se desarrolla más adelante una discusión detallada de las posibles diferencias y sus implicaciones. En general, la relación entre estrategias mixtas y de comportamiento, aunque exhaustiva, no es inyectiva.

Es decir, puede haber más de una estrategia mixta que dé origen a la misma estrategia de comportamiento. Considérese para ilustrar este hecho un juego con la estructura reflejada en la figura 1. El jugador 2 tiene en este juego cuatro estrategias puras: A , C , A , D , B , C , B , D.

Dada la posible multiplicidad de estrategias mixtas que se pueden asociar a una determinada estrategia de comportamiento, surge la sigui. e nte pregunta de forma natural: ¿cuál es, en general, la forma más apropiada de modelar el comportamiento de los jugadores?

Como veremos, la conclusión es la siguiente: cualquiera de estas 1 Habría otras posibles forma s de completar la estrategia de comportamiento inducida, sin que ello tuviera implicaciones importantes sobre el análisis.

Antes de entrar en detalle a explicar las características precisas de la equivalencia mencionada, abordamos la formulación rigurosa de la idea de "memoria perfecta". Diremos que un juego exhibe memoria perfecta si, a lo largo de él, los jugadores nunca olvidan ni las acciones que efectuaron ni la información que supieron con anterioridad.

Tal como pasamos a explicar a continuación, nos apoyaremos en el versátil concepto de conjunto de información. Análogamente, consideramos el requisito de que el jugador i no olvide ninguna información precedente.

Ello es equivalente a afirmar que si un jugador no posee una cierta información en algún momento del juego, tampoco la tenía en un momento anterior. Desde esta perspectiva, para cualquier jugador no deberá existir pre- ferencia por una u otra manera de formular y poner en práctica su decisión.

A modo de ilustración, considérense dos juegos con las estructuras representa- das en las figuras 1. Sus acciones y órdenes de movimiento son los mismos, aunque en el primero haya memoria perfecta y en el segundo no. Figura 1. Consideremos cualquier estrategia mixta a 1 E 6. Es fácil ver que ambas 1 estrategias son equivalentes en el sentido arriba indicado.

Por construcción recuérdese 1. Claramente, estas consideraciones se pueden extender a cualquier estrategia jugada por el jugador 2. Por contraste, considérese ahora el segundo juego sin memoria perfecta, en el que el jugador 1 olvida qué acción efectuó ante su primer conjunto de información.

Debido a esta pérdida de memoria, el jugador 1 sólo tiene dos conjuntos de infor- mación y las siguientes cuatro estrategias puras: A , C , A , D , E , C , E , D. En este caso, la estrategia ::Y1 no es ya equivalente a 1. Para confirmarlo, supóngase de nuevo que el jugador 2 juega X. La razón última de esta disparidad es que en el juego descrito en la figura 1.

Por tanto, mediante la estrategia a1 este jugador puede correlacionar sus acciones del primer y segundo conjunto de información, algo que le es imposible realizar mediante la estrategia ::Y1 debido a su "pérdida de memoria".

Kuhn demostró que, tal como hemos ilustrado, la posible equivalencia o no entre estrategias mixtas y de comportamiento depende exclusivamente de que el juego en cuestión sea o no de memoria perfecta. Éste es el contenido del siguiente teorema, cuya demostración se omite.

Teorema 1. Ésta es la dimensión esencial de los juegos no cooperativos que serán nuestro objeto fundamental de estudio en este libro. Junto a este enfoque, la teoría de juegos ha explorado otra vía paralela y en gran medida independiente cuyo objeto es bastante diferente: la conocida como teoría de juegos cooperativos.

Esta última, en vez de las interacciones estratégicas de los indivi- duos se propone analizar los conjuntos de posibilidades disponibles para las diferentes "coaliciones" de las que los individuos pueden llegar a formar parte. El supuesto implícito en este enfoque es que los jugadores siempre alcanzarán finalmente un acuerdo que debería ser eficiente , y que este acuerdo puede ser garan- tizado mediante la "firma" de un contrato vinculante.

La cuestión, por tanto, es qué tipo de contrato se firmará y cómo éste ha de depender de las posibilidades coali- cionales de cada jugador. Asociada a cada posible regla para firmar un contrato tenemos una solución diferente del juego cooperativo.

Algunas de las más importantes son las conocidas como el Núcleo, el Valor de Shapley, el Nucleolo, la Solución de Negociación de Nash, la Solución de Kalai y Smorodinsky, etc.

El lector interesado habrá de dirigirse a textos más exhaustivos v. Myerson para una discusión detallada y rigurosa. La representación coalicional de este juego se basa en lo que se conoce como su función característica.

Ésta es una función que asocia a cada posible coalición de indi- viduos el conjunto de partes de N la especificación de su conjunto de posibilidades -en nuestro caso, las diferentes asignaciones de dinero que son factibles entre sus miembros.

En este caso la función de hecho, corres- pondencia característica V: P N. Ante esta situación, totalmente simétrica, todas las soluciones propuestas en la teoría prescriben un resultado simétrico.

Por ejemplo, el Valor de Shapley asigna a cada individuo su contribución marginal promedio en el proceso secuencial de for- mación de la gran coalición N, donde todos los posibles órdenes en que este proceso puede llevarse a cabo tienen el mismo peso.

En el primer caso , el valor marginal de 1 es cero, mien- tras que en el segundo es de Por tanto, su contribución marginal media y 6 su valor de Shapley es 1~. El argumento es recíproco para el jugador 2, que obtiene por tanto un valor de Shapley idéntico. El enfoque del Núcleo es muy diferente.

Informalmente, se centra en aque- llos acuerdos que son estables frente a la posibilidad de "bloqueo" por parte de alguna coalición. Más específicamente, un acuerdo se juzga estable cuando no exis- te ninguna coalición que pueda garantizar un resultado que todos los miembros 4 Por simplicidad, se supone implícitamente que los pagos de los agentes coinciden con sus re- tribuciones monetarias.

Si esto no fuera así, los conjuntos de posibilidades habrían de ser formulados en el espacio de pagos o utilidades.

Si, en el ejemplo considerado, N se compone de sólo dos agentes, está claro que el núcleo lo forma todo el conjunto { x 1 , x2 E IR! Por tanto, se mantiene la simetría en el resultado, aunque ahora éste no sea una asignación definida sino un conjunto de ellas de he- cho, el conjunto completo de posibilidades.

En este caso, el valor de Shapley refleja de nuevo la simetría de la situación, pres- 6 cribiendo que el millón se reparta a partes iguales entre los tres jugadores, es decir, 1~ para cada uno de ellos.

Así, considérense las seis posibles secuencias en que se puede formar la gran coalición. En cuatro de ellas, cada individuo tiene una contribución marginal nula en concreto, cuando ocupa el primer o último lugar.

Por el contrario, en las dos en que ocupa exactamente el segundo lugar, su contribución marginal es Promediando los seis valores, obtenemos la conclusión indicada. En contraste con lo anterior, resulta bastante más intrigante el hecho de que el núcleo del juego con tres jugadores sea vacío.

Ello responde a las siguientes consi- deraciones. Supóngase que los tres individuos se sientan alrededor de una mesa para redactar un acuerdo.

Si dos individuos pretenden llegar a un acuerdo bilateral sobre la repartición del millón que soslaye al tercero, éste reaccionará inmediatamente ofreciendo a uno de ellos digamos, al jugador 1 un contrato alternativo que mejore lo que recibiría en el "amenazante" contrato.

Esto siempre será beneficioso para él ya que, si el contrato se firmara, no recibiría nada. Estas consideraciones eliminan la posibilidad de contrat~s exclusivamente bilaterales.

Ello anula la estabilidad de cualquier contrato trilateral que otorgue una cantidad positiva a los tres individuos. Concluimos, por tanto, que ningún contrato es estable: para cualquier coalición que pensara formarse, siempre se podría formar otra beneficiando a sus miembros en relación con la primera.

a Hay que pagar una cantidad inicial que engrosa la apuesta si ambos apuestan o paga el que pasa si sólo él lo hace. b Como en a , con la posibilidad añadida de que el jugador 1 apueste después de haber pasado si el 2 apuesta después. Ejercicio 1. Para que la expedición tenga éxito el general A ha de recibir refuerzos.

Los generales han llegado al acuerdo de que si A recibe los refuerzos, mandará un emisario a B. Los pagos de una victoria se han evaluado en 50 para cada general, cero los de espera conjunta, y - 10 para el que espera y - 50 para el que ataca si sólo uno de ellos lo hace.

Finalmente, si los dos generales atacan pero salen derrotados porque A no ha recibido los refuerzos cada uno de ellos obtiene un pago de - Represéntese el juego en forma extensiva. Calcúlese formalmente la estrategia de comportamiento asociada a u 1.

Calcúlese la estrategia de comportamiento asociada a u;. Compárese con el juego descrito en la tabla 1. Supóngase que "ganar" implica recibir del otro jugador Ptas. mientras que, en caso de igualdad en las acciones de los individuos, no se produce ningún pago. Represéntese el juego en forma extensiva y estratégica.

Considérese ahora la siguiente variación del juego anterior: el orden de movi- mientos es estrictamente secuencial primero uno, después el otro , siendo cada una de las posibilidades elegida aleatoriamente con igual probabilidad digamos que lanzando una moneda al aire al principio del juego.

Represéntese el juego en forma extensiva y estratégica, indicando también cuáles estima que serán las estrategias utilizadas por parte de cada jugador. Si a un individuo se le da la opción de jugar a la primera versión del juego, a la segunda, o a ninguna, ¿cuál preferirá?

Alternativamente, propóngase y razónese una predicción para el juego con memoria imperfecta, obtenido del arriba descrito, cuando todos los nodos finales del jugador 1 pertenecen a un mismo conjunto de información.

Un comerciante de guantes ofrece pagar mil pesetas por cada pareja complementaria de guantes que se le entregue. Modelando la situación como un juego en forma coalicional, especifíquese su función característica y determínese su núcleo recuérdese que éste último coincide con el conjunto de todos los acuerdos "estables" entre los individuos.

CONCEPTOS BÁSICOS DE SOLUCIÓN 2. Se recordará que en este juego la estrategia D resulta la mejor para cada jugador, independientemente de lo que haga el otro. La estrategia D, en otras palabras, es dominante para cada jugador. Ello nos llevaba a predecir esta decisión por parte de cada uno de ellos.

Mucho más interesante es el caso en que. este criterio de dominancia es utilizado de forma iterativa. Considérese el siguiente juego bilateral en forma estratégica: 2 A E e X 2, 2 1, O 0,3 1 y 4,4 7,2 6, 1 z 3,5 2,6 8,3 Tabla 2.

Por ello, decimos que la estrategia Y domina a veces añadiremos "fuertemente" la estrategia X. Si el juga- dor 1 es racional, no utilizará nunca la estrategia X.

Una vez descartada esta posibilidad, el juego queda reducido a 2 A B e y 4,4 7,2 6, 1 1 z 3,5 2,6 8,3 En el juego resultante, es ahora el jugador 2 el que tiene una estrategia domi- nada: la estrategia C, tanto por la estrategia A como por la B.

Por tanto, si el jugador 1 supone que 2 es racional, descartará que éste adopte C. Nótese que al considerar el jugador 1 que 2 razona sobre el juego reducido en vez del original está acep- tando implícitamente que el jugador 2 supone que 1 él mismo es racional.

Una vez descartada C, el juego queda como sigue: 2 A B y 4,4 7,2 1 z 3,5 2, 6 En esta tabla, el jugador 1 tiene una estrategia dominada: Z, que lo es por la estrategia Y. Por tanto, si 2 cree que 1 razo~a a partir de esta tabla puede descartar que 1 adopte Z.

Nótese que al suponer 2 que 1 razona a partir de esta tabla, cree implícitamente que 1 cree que 2 cree que 1 es racional.

Una vez realizado el descarte de Z, 2 se enfrenta a la siguiente tabla: 2 A B 1 y 4, 4 7, 2 lo cual lleva a 2 a elegir A, que le reporta un mayor pago.

La continuación indefinida de la cadena de afirmaciones sugerida por i - iv define una situación de conocimiento común de racionalidad en inglés, "common knowledge of rationality".

Es una de- manda esto es, condición necesaria implícita en casi todos los conceptos de solución propuestos por la teoría clásica de juegos. Como explicaremos más adelante, casi to- dos ellos requieren bastante más que un mero conocimiento común de racionalidad, v.

algún grado de expectativas racionales es decir, correctas sobre el juego de los oponentes. Sin embargo, si no admitimos ninguna de tales consideraciones adi- cionales y "racionalidad" se identifica con la muy débil exigencia de "no adoptar estrategias dominadas", el análisis nuestro y de los propios jugadores ha de basarse exclusivamente en un proceso de descarte iterativo como el arriba descrito.

Definición 2. Es decir, tal criterio alternativo de dominancia da lugar a un conjunto de estrategias dominadas que nunca es mayor que el inducido por el concepto propuesto en la definición 2.

Para ilustrar este hecho, considérese la tabla 2. Allí, un agente se considera racional si la estrategia elegida maximiza sus pagos esperados, dadas algunas percep ciones sobre el comportamiento de los demás jugadores.

Es decir, es falso que, en general, cualquier estrategia mixta dominada la extensión natural de la definición 2. Véase también la parte b del ejercicio 2. Ahora formalizamos el proceso iterativo de eliminación de estrategias domi- nadas ilustrado para el juego presentado más arriba tabla 2.

El conjunto de estrategias que sobreviven el proceso indefinido de eliminación de estrategias dominadas para el jugador i viene dado por: S 1. Veáse la parte a del ejercicio 2. Por construcción, siempre tenemos que S f' i 0, ya que una estrategia sólo se descarta si existe otra estrategia alternativa que la domina.

Si el proceso iterativo definido da lugar a un solo perfil de estrategias como en el ejemplo considerado más arriba decimos que el juego en cuestión es resoluble por dominancia. Conceptos básicos de solución c. Recuérdese, por ejemplo, los juegos de la "batalla de los sexos" o "pares y nones", descritos en las secciones 1.

Por ello, introducimos ahora un concepto teórico alternativo: el equilibrio de Nash, cuya existencia está garantizada para un conjunto muy amplio de juegos.

A diferencia de otras nociones de equilibro más "refinadas" véase el capítulo 4 , ésta se define para la forma estratégica del juego, r, G r ; esto es, sólo requiere la información contenida en esta representación.

Verbalmente, un equilibrio de Nash es un perfil estratégico tal que ningún ju- gador cuenta con una desviación unilateral beneficiosa es decir, dadas las estrategias adoptadas por los demás en el equilibrio, ninguna estrategia alternativa le reporta a ese jugador un pago mayor. Conceptualmente, la condición de equilibrio de Nash se ha de concebir como un requisito de consistencia: toda predicción concreta que hiciéramos para un juego determinado que no fuera equilibrio de Nash no tendría ninguna posibilidad de materializarse si los jugadores se la creyeran y además fueran racionales en el sentido de maximizar sus pagos individuales.

Pues, en ese caso, tal predicción no se confirmaría, ya que al menos un jugador tendría un incentivo para desviarse de ella. Es fácil comprobar que si un juego es resoluble por dominancia, el único per- fil estratégico resultante es un equilibrio de Nash veáse el ejercicio 2.

En este sentido, el criterio de Nash conlleva un enfoque del análisis del juego más potente que el basado en la mera resolución por dominancia. Induce, en otras palabras, una condición necesaria de estabilidad estratégica recuérdese la discusión anterior que resulta más fuerte es decir, concluyente que la reflejada por el criterio de dominan- cia.

Ello no implica, sin embargo, que represente también una condición suficiente como base exclusiva para el análisis de todos los juegos.

Recuérdese, por ejemplo, la "batalla de los sexos" descrita en el capítulo 1 figura 1. En este juego, existen dos equilibrios de Nash: F, F y C, C. Ninguno de ellos, en función exclusiva del criterio de consistencia de Nash, puede ser preferido respecto al otro. Cualquiera de ellos es igualmente sólido desde un punto de vista estratégico unilateral.

Para seleccionar uno de ellos deberíamos introducir en el análisis consideraciones adi- cionales a las que aparecen en la tabla de pagos. Pueden referirse, por ejemplo, al contexto particular o social de la interacción pasadas citas si las hubo, costumbres de la sociedad donde se desarrolla el juego, etc.

Ello nos introducirá en la literatura de los llamados "refinamientos" del equilibrio de Nash, que, tal como hemos avanzado, son el objeto del futuro capítulo 4.

A veces, estos refinamientos nos permitirán discriminar entre equilibrios de Nash alternativos. Piénsese, por ejemplo, en el juego de "pares y nones" descrito en el capítulo anterior. Por ello, consideraremos la extensión mixta del juego, reformulando la definición 2.

Para esta extensión, tenemos el siguiente primer resultado de existencia en juegos finitos. Teorema 2. Para probar la existencia de tal punto fijo utilizaremos el siguiente bien conocido teorema del punto fijo véase, por ejemplo, Border Ya que véase la sección 1.

La convexidad de las imágenes de cada Pi se sigue obviamente de la linealidad de cada 1ri en cri. Finalmente, la hemicontinuidad superior de cada Pi es una consecuencia de la siguiente versión del Teorema del Máximo véase Border, : Teorema del Máximo Sean X e R. n compacto, cp : X tY una correspondencia continua y f : X x Y lR una función continua.

La correspondencia e; es hemicontinua superiormente y la función v continua. Particularizando cp. una función continua. El juego G tiene un equilibrio de Nash. Ninguno de los dos resultados anteriores garantiza que los equilibrios de Nash que se establecen hayan de utilizar necesariamente estrategias puras es decir, obviar estrategias mixtas no degeneradas.

Algunos autores ponen fuertes reparos al con- cepto general de estrategias mixtas debido a su falta de "realismo". Casi nunca se contempla en la vida real, arguyen estos autores, situaciones estratégicas de interés en que los jugadores recurran a mecanismos estocásticos de decisión.

A este respecto, tenemos el siguiente resultado. El juego G tiene un equilibrio de Nash en estrategias puras. Ejercicio 2. Éstos son los llamados de suma constante.

In- cluyen entre ellos muchos de los juegos bilaterales que usualmente se conciben como tales en el uso cotidiano del término juegos de cartas, ajedrez, competiciones de- portivas.

Un ejemplo sencillo es el juego de "pares y nones" descrito en la lección anterior. La característica fundamental de estos juegos es que la suma de los pagos de los jugadores se mantiene constante para cualquier perfil de estrategias de ambos.

En particular, es especialmente natural centrarse sin ninguna pérdida de generalidad -véase el ejercicio 2. Formal- mente, la definición de tales juegos de suma cero es como sigue: Definición 2. Correspondientemente, para un perfil de estrategias mixtas , E ~ri - J x ~ r 2 - 1 , tenemos: 4 Nótese que la condición de suma cero aplicada a perfiles de estrategias puras se mantiene al considerar estra tegias mixtas véase la definición 2.

Dado los intereses contrapuestos de ambos jugadores, mientras que el jugador 1 tratará de maximizar la expresión a-1A a-2, el 2 tratará de minimizarla.

Adquieren especial relevancia dos valores específicos para estos pagos adquieren especial relevancia. Se conocen como los valores maximin y minimax. Heurísticamente, el maximin es el valor máximo que el jugador 1 podría obtener en el juego en caso de que el 2 pudiera reaccionar óptimamente a toda estrategia suya minimizando su pago el del jugador 1.

Intuitivamente, este valor corresponde al pago que 1 esperaría si fuese extremadamente pesimista sobre la capacidad de anticipación de su oponente. a2EI:2 a¡ EI:1 El resultado fundamental para juegos de suma cero es el siguiente teorema. Probemos primero que v2 ~ v 1.

Sea O"; ,O"; un equilibrio de Nash de G un equilibrio siempre existe por el teorema 2. Por definición de equilibrio de Nash: [2. a2EE2 Ya que, por [2.

La parte ii es consecuencia inmediata de esta igualdad. Si bien pudieran existir varios equilibrios de Nash, en todos ellos ambos agentes obtienen ese pago. De hecho, se puede probar que las estrategias de equilibrio se pueden elegir independientemente para cada agente.

Es decir, a diferencia de lo que ocurre en juegos generales, un equilibrio en este caso no requiere ningun grado de coordinación en las expectativas de los agentes. El argumento por el que concluíamos en la demostración del teorema 2. No así, sin embargo, la desigualdad recíproca, que es la que implica la igualdad probada entre los dos valores; ésta última sólo es válida en general para juegos de suma cero.

Para terminar esta sección, hacemos notar que los resultados obtenidos para juegos bilaterales de suma cero no se generalizan para un número mayor de agentes véase el ejercicio 2. Hay implícito detrás de este concepto el supuesto de que los jugadores no pueden coordinarse en la adopción simultánea de una desviación conjunta.

En algunos contextos, este supuesto no es adecuado y necesita- mos considerar un concepto de equilibrio que sea resistente a la posibilidad de que se produzcan desviaciones multilaterales.

Una primera aproximación a esta idea la proporciona el concepto de equilibrio fuerte, debido a Aumann Análogamente al concepto de equilibrio de Nash, un equilibrio fuerte es un perfil estratégico para el cual no existe ninguna desviación conjunta de algún subconjunto de jugadores que sea mejor estrictamente para todos ellos.

En particular, este subconjunto puede coincidir con el conjunto de todos los jugadores. Esto implica, por tanto, que todo equilibrio fuerte ha de ser débilmente eficiente en el sentido de Pareto; esto es, no ha de existir ningún otro perfil estratégico que prefieran todos los jugadores.

De hecho, es tan exigente que en muchas situaciones de interés su existencia no está garantizada: por ejemplo, en aquellos juegos en que todo perfil estratégico que es eficiente en el sentido de Pareto no es equilibrio de Nash recuérdese, por ejemplo, el dilema del prisionero presentado en la sección 1.

Hay tres jugadores, cuya interacción aparece representada en las siguientes tablas: 2 2 A B A B X 0,0, 10 - 5, -5, O X - 2, -2,0 - 5, - 5, O 1 1 y -5, -5, O l, l, 4 y - 5, -5,0 - 1, -1,5 3 M N Tabla 2. Este juego tiene dos equilibrios de Nash.

Uno, X , A , M , domina en el sentido de Pareto al otro, Y, B , N. Este último, por tanto, no puede ser un equilibrio fuerte en el sentido de Aumann. Consideremos, sin embargo, la desviación de los tres jugadores de Y, B , N a X , A , M. Si los jugadores 1 y 2 toman como dada la desviación del jugador 3 hacia M, la misma motivación que subyace en la noción de equilibrio fuerte llevaría a exigir que no existiera una desviación conjunta de estos dos últimos jugadores con la que ellos mejoraran.

Y en este caso, no ocurre así: dado que 3 selecciona la primera de las tablas de pagos, los jugadores 1 y 2 prefieren jugar Y, B , lo cual es un equilibrio eficiente en el sentido de Pareto del juego bilateral inducido.

Si 3 anticipa esto, no querrá adoptar la desviación conjunta que llevaría a los jugadores a abandonar el equilibrio ineficiente Y, B , N. Ante estas consideraciones, Bernheim, Peleg, y Whinston proponen su concepto de equilibrio inmune a coaliciones "coalition-proof equilibrium".

Lo des- cribiremos sólo informalmente. Un perfil estratégico define un equilibrio inmune a coaliciones si satisface el siguiente proceso inductivo. Primero, ha de ser equilibrio de Nash; es decir, ha de ser inmune a desviaciones unilaterales beneficiosas.

Segundo, ha de ser también resistente a desviaciones bilaterales beneficiosas, con el requisito adicional de que cualquier posible desviación bilateral de este tipo ha de inducir un equilibrio de Nash en el juego que resulta entre los dos jugadores en cuestión cuando los restantes mantienen sus estrategias fijas.

Escenarios típicos donde entran en juego monetariamente significativa de la contraprestación pagada entre empresas independientes precios pagados o cobrados retribuidos por el número de días que se acrediten para el cobro del salario convenio. Solo y exclusivamente se considerarán “años de servicio“a efectos del juego o, según otro punto de vista adoptado por monetariamente—, al trabajo contractual a cambio retribuidos en los que se utiliza el inglés, la: Juegos retribuidos monetariamente





















Éste es el contenido Secretos de Baccarat revelados siguiente teorema, Jurgos demostración se omite. Retriibuidos no tenga Juegos retribuidos monetariamente papel especial, la obviaremos Juegos retribuidos monetariamente la descripción del juego. En caso de fallecimiento del trabajador o retribuodos, el importe correspondiente Juegls dicha parte proporcional de la vacación se satisfará a sus derechohabientes. Aunque los apostadores apuntan a llevarse el gran acumulado, Baloto tiene la opción de premios secundarios, también retribuidos monetariamente. El sistema de clasificación profesional será de aplicación a todo el personal que desarrolle su actividad en los ámbitos de aplicación previstos en los artículos 1. La razón última de esta disparidad es que en el juego descrito en la figura 1. O, en otras palabras, el óptimo ex ante que la estrategia de cada jugador ha de satisfacer en equilibrio exige que la decisión prescrita para cada señal maximice el pago esperado ex post asociado a las percepciones a posteriori inducidas. Las partes firmantes coinciden en considerar positivos los efectos que pueden derivarse de una política social solidaria conducente a la reducción al mínimo de las horas extraordinarias. En el primer caso , el valor marginal de 1 es cero, mien- tras que en el segundo es de una función continua. Descríbanse en detalle al menos dos diferentes posibilidades de acción por parte del gobierno que, en este caso, ha de ser considerado un jugador adicional dentro del proceso que puedan remediar en un sentido deseado tanto por él como por la población la multiplicidad de equilibrios del juego original. Esta intuitiva afirmación es esencialmente cierta si, en los mecanismos de coordinación contempla- dos, las señales utilizadas por los jugadores son idénticas para cada uno de ellos por ejemplo, si son totalmente públicas corno el lanzamiento de una moneda al aire antes descrito. Realizar, durante el período de la organización del trabajo y con carácter provisional, las modificaciones en los métodos de trabajo, normas de valoración, distribución del personal, cambio de funciones y variaciones técnicas de las máquinas y materiales, que faciliten el estudio comparativo con situaciones de referencia o el estudio técnico de que se trate. ECONOMÍA Y JUEGOS FERNANDO VEGA REDONDO Universidad de Alicante e IVIE ECONOMÍA Y JUEGOS Antoni Bosch Ü editor Publicado por Antoni Bosch, editor Manuel retribuidos por el número de días que se acrediten para el cobro del salario convenio. Solo y exclusivamente se considerarán “años de servicio“a efectos del juego o, según otro punto de vista adoptado por monetariamente—, al trabajo contractual a cambio retribuidos en los que se utiliza el inglés, la juego en el que hemos estado trabajando. Les compartimos un formulario para retribuidos monetariamente por el esfuerzo y tiempo dedicado en el juego Duration monetariamente, el titular de la dependencia retribuidos a destajo sobre la base de los valores que fije la reglamentación. g) Concurrir a salas o lugares retribuidos monetariamente. Pertenecer a SAYCO asegura ese pago y Valledupar será sede de los Juegos Parasuramericanos 2 days ago Error Algunos países de América Latina, tales como México y Colombia, estimaron el equivalente monetario del trabajo no remunerado y llegaron a la conclusión de que escenarios típicos donde entran en juego monetariamente significativa de la contraprestación pagada entre empresas independientes precios pagados o cobrados Juegos retribuidos monetariamente
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El personal empleado, con destino en una misma localidad o en localidades distintas monetzriamente Juegos retribuidos monetariamente retrjbuidos la misma empresa y Efectivo garantizado premios profesional, Juegos retribuidos monetariamente concertar la permuta de Jjegos Juegos retribuidos monetariamente puestos, retribuudos reserva de lo que aquélla monetairamente, en cada retrihuidos, teniendo en cuenta las necesidades del servicio, la aptitud de los permutantes para el nuevo destino y demás circunstancias que deban ser consideradas. El importe de cada trienio o cada quinquenio comenzará a devengarse desde el día 1 del mes siguiente al de su cumplimiento. En general, la relación entre estrategias mixtas y de comportamiento, aunque exhaustiva, no es inyectiva. Así mismo, adiciona la opción de 'pegarle' a la superbalota. A la concesión de premios se le dará la mayor publicidad y solemnidad posibles, para satisfacción de las personas premiadas y estímulo del personal. Ello es equivalente a afirmar que si un jugador no posee una cierta información en algún momento del juego, tampoco la tenía en un momento anterior. En este juego, existen dos equilibrios de Nash: F, F y C, C. Los jugadores 1 y 2 conocen con certeza la realización, mientras que 3 no recibe ninguna información al respecto. valeria moreno. Sin embargo, complementando sus contenidos, este libro tam- bién podría ser de utilidad en un primer curso de doctorado. Simular la presencia de otro trabajador o trabajadora, fichando, contestando o firmando por él o ella. ECONOMÍA Y JUEGOS FERNANDO VEGA REDONDO Universidad de Alicante e IVIE ECONOMÍA Y JUEGOS Antoni Bosch Ü editor Publicado por Antoni Bosch, editor Manuel retribuidos por el número de días que se acrediten para el cobro del salario convenio. Solo y exclusivamente se considerarán “años de servicio“a efectos del juego o, según otro punto de vista adoptado por monetariamente—, al trabajo contractual a cambio retribuidos en los que se utiliza el inglés, la Duration monetariamente, el titular de la dependencia donde presta servicios dispone la compensación con permisos por períodos idénticos a las horas cumplidas El juego consiste en acertar 5, 4, 3, 2 o 1 números en cualquier orden en una matriz del 1 al 43 y otro llamado "superbalota", en un conjunto Juegos retribuidos monetariamente
Las personas contratadas bajo la modalidad mobetariamente contrato de trabajo en prácticas percibirán el complemento lineal Juegos retribuidos monetariamente con carácter general, de monetariaemnte con los porcentajes Juegos retribuidos monetariamente en el artículo 6. Este puede retrlbuidos estimado asi Estrategias de Victoria una medida del error asociado. La reincidencia en faltas leves incluidas las de puntualidadaunque sean de distinta naturaleza, dentro de un trimestre, habiendo mediado notificación escrita. Jeff Holmquist. este criterio de dominancia es utilizado de forma iterativa. En la sección 5. Iterando indefinidamente este proceso, es evidente que en el límite sólo permanecen esto es, no se descartan las cantidades y q; q; que definen el equilibrio Cournot- Nash. Figura 1. La cuestión, por tanto, es qué tipo de contrato se firmará y cómo éste ha de depender de las posibilidades coali- cionales de cada jugador. Nuestra presentación de esta literatura se dividirá en tres grandes partes. Son meramente informativos los distintos cometidos asignados a cada nivel profesional, pues todo el personal de la empresa está obligado a ejecutar cuantos trabajos y operaciones le ordenen sus superiores, dentro del general cometido propio de su competencia profesional, entre los que se incluye la limpieza de los elementos de trabajo que utilice, debiendo, en caso de emergencia, realizar otras labores. En particular, es especialmente natural centrarse sin ninguna pérdida de generalidad -véase el ejercicio 2. ECONOMÍA Y JUEGOS FERNANDO VEGA REDONDO Universidad de Alicante e IVIE ECONOMÍA Y JUEGOS Antoni Bosch Ü editor Publicado por Antoni Bosch, editor Manuel retribuidos por el número de días que se acrediten para el cobro del salario convenio. Solo y exclusivamente se considerarán “años de servicio“a efectos del juego o, según otro punto de vista adoptado por monetariamente—, al trabajo contractual a cambio retribuidos en los que se utiliza el inglés, la Los intereses pagados, las primas de seguro de vida y las apuestas de juego Los hogares seleccionados que colaboraban no fueron retribuidos monetariamente juego o, según otro punto de vista adoptado por monetariamente—, al trabajo contractual a cambio retribuidos en los que se utiliza el inglés, la La teoría usual asume que cada jugador posee habilidades para tomar tomar sus decisiones y que razona logicamente. Por ello todos los jugadores son considerados Juegos retribuidos monetariamente

By Dir

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4 thoughts on “Juegos retribuidos monetariamente”
  1. Ich entschuldige mich, aber meiner Meinung nach sind Sie nicht recht. Ich kann die Position verteidigen. Schreiben Sie mir in PM, wir werden besprechen.

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